两角和与差的三角函数公式的证明

精品文档---下载后可任意编辑 两角和与差的三角函数公式的证明 三角函数 两角和与差 单位圆 托勒密定理 数学 利用单位圆方法证明 sin（αβ） 与cos（αβ） ，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。 1、sin（αβ）sinαcosβ cosαsinβ 在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段 如图中所示，容易看出 sin（αβ）CF；sinαAB；cosαOB； sinβCD；cosβOD 则 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何的证明方法如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示 （非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言） ---------------------------------------------------------------------------------- 附如何证明托勒密定理 见 托勒密Ptolemy定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供） 思路托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。 证明以AB为边，作一个角等于已知角即∠BAE∠DAC； 在ΔABE和ΔACD中， ∵ ∠BAE∠DAC； ∠ABE∠ACD； ∴ △ABE∽△ACD； ∴ ABDCBEAC ① ∵ ∠BAE∠DAC； ∴ ∠DAE∠CAB； 在ΔADE和ΔACB中， ∵ ∠ADE∠ACB； ∠DAE∠CAB； ∴ △ADE∽△ACB； ∴ ADBCDEAC ② ∴ ①②得 ABDC ADBC BEAC DEAC（BEDE）ACBDAC。 结论该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，叫做托勒密定理。“当你遇到ABDCADBCACBD这样的等积式时，假如等式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”