【八年级上册数学青岛版】2.5 角平分线的性质 同步练习

2.5 角平分线的性质 基础过关全练 知识点一 角平分线的性质 1.（2021山东阳谷期中）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC15，DE3，AB6，则AC的长为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2.（2021湖南长沙中考）如图，在△ABC中，∠C90，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC4，DE1.6，则BD的长为 . 3.如图，BD是∠ABC的平分线，ABBC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F，G.试说明 （1）△ABE≌△CBE； （2）DFDG. 知识点二 角平分线的判定 4.如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠ACB，∠CBE，∠BCD的平分线的交点.其中错误的是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 5.如图所示，∠A∠B90，P是AB的中点，且DP平分∠ADC，连接PC. （1）试说明CP平分∠BCD； （2）线段PD与PC有怎样的位置关系请说明理由. 知识点三 用尺规作角的平分线 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB90，按以下步骤作图 ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N点； ②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于点D.若AB10，BC6，AC8，则线段CD的长为 . 7.（2022山东曹县期中）如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使ABa，∠A12∠α，∠B∠α（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）. 能力提升全练 8.（2019浙江湖州中考）如图，在四边形ABCD中，∠BCD90，BD平分∠ABC，AB6，BC9，CD4，则四边形ABCD的面积是（ ） A.24 B.30 C.36 D.42 9.（2021山东诸城期中）如图，钝角三角形ABC的面积是15，最长边AB10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CMMN的最小值为（ ） A.4 B.3 C.2.8 D.2.5 10.（2022山东阳谷期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的周长是20，且OD3，则△ABC的面积为 . 素养探究全练 11.[逻辑推理]有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法如下 （1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B； （2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧，分别交OM、ON于点C、D； （3）连接AD、BC，交点为E； （4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线. 你认为他的这种作法正确吗试说明理由. 2.5 角平分线的性质 答案全解全析 基础过关全练 1.A 作DF⊥AC于F，如图， 因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DFDE3， 因为S△ABCS△ABDS△ACD，所以1236123AC15，解得AC4. 2.2.4 解析 ∵∠C90，∴BC⊥AC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CDDE1.6，∴BDBC-CD4-1.62.4. 3.解析 （1）因为BD平分∠ABC，所以∠ABE∠CBE， 在△ABE与△CBE中，ABCB,∠ABE∠CBE,BEBE, 所以△ABE≌△CBE（SAS）. （2）由（1）得△ABE≌△CBE，所以∠AEB∠CEB， 所以180-∠AEB180-∠CEB，即∠AED∠CED， 又因为DF⊥AE，DG⊥EC，所以DFDG. 4.D 因为点P到AE，AD的距离相等，所以点P在∠BAC的平分线上，①正确；因为点P到AE，BC的距离相等，所以点P在∠CBE的平分线上，②正确；因为点P到AD，BC的距离相等，所以点P在∠BCD的平分线上，③正确；所以点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，不是∠ACB，∠CBE，∠BCD的平分线的交点，④错误. 5.解析 （1）如图，过点P作PQ⊥CD于点Q， 因为P是AB的中点，∠A∠B90， 所以PAPB，PA⊥AD，PB⊥CB， 因为DP平分∠ADC，PA⊥AD，PQ⊥CD，所以PAPQ， 所以PAPQPB， 因为PB⊥CB，PQ⊥CD，所以CP平分∠BCD. （2）PD⊥PC. 理由因为∠A∠B90，所以∠A∠B180， 所以AD∥BC，所以∠ADC∠BCD180， 因为DP平分∠ADC，CP平分∠BCD， 所以∠PDC12∠ADC，∠PCD12∠BCD， 所以∠PDC∠PCD12（∠ADC∠BCD）90， 所以∠DPC90，所以PD⊥PC. 6.3 解析 ∵∠ACB90， ∴AC⊥BC，过点D作DE⊥AB于E， 由作法得BD平分∠ABC，∴DEDC， ∵S△ABDS△BCDS△ABC，∴12DE1012CD61268， 即5CD3CD24，解得CD3. 7.解析 如图，△ABC即为所求. 能力提升全练 8.B 如图，过D作DH⊥直线AB，交BA的延长线于点H. 因为BD平分∠ABC，∠BCD90，所以DHCD4， 所以四边形ABCD的面积S△ABDS△BCD12ABDH12BCCD 1264129430，故选B. 9.B 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，此时CMMN的值最小. 因为BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于点N，所以MNME，所以CMMN的最小值CMMECE. 因为钝角三角形ABC的面积为15，所以12ABCE15， 即1210CE15，解得CE3，即CMMN的最小值为3. 10.30 解析 如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OEOD3，OFOD3， ∴S△ABC12ABOE12ACOF12BCOD12（ABACBC）31220330. 素养探究全练 11.解析 正确. 理由由题意可得AOBO，CODO， 所以OC-OAOD-OB，即ACBD. 在△OBC和△OAD中，OBOA,∠BOC∠AOD,OCOD, 所以△OBC≌△OAD（SAS）， 所以∠OCB∠ODA，∠OAD∠OBC， 所以∠CAE∠DBE， 在