【八年级下册数学苏科版】第九章 中心对称图形平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点）

第九章 中心对称图形 平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点） 知识拓展 坐标与旋转规律问题 典例1 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,（n为正整数）,则点的坐标是（） A．B．C．D． 典例2 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去，若点、，则点的横坐标为（ ） A．10110B．C．D．10120 典例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB，，点O为坐标原点，点B在x轴上，点A的坐标是．若将绕点O顺时针方向依次旋转45后得到，，，，可得，，，则的坐标是______． 典例4 如图，在平而直角坐标系中，将，，绕点O顺时针旋转后得到，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到，如果点A的坐标为，那么点的坐标为______． 跟踪训练1 如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为（） A．2022B．2023C．2024D． 跟踪训练2 如图，在中，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③则旋转得到的第个三角形的直角顶点的坐标为_________. 跟踪训练3 如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2020次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为______． 矩形与折叠问题 典例5 如图①所示，四边形是长方形，将长方形折叠，点恰好落在边上的点处，折痕为，如图②所示 1图②中，证明 2将图②折叠，点与点重合，折痕为，如图③所示，当时 ①当时，求长方形的面积； ②将图③中的绕着点旋转，使点与点重合，点与点重合．如图④，求证． 典例6 同学们，折纸中也有很大的学问呢．张老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题在一张长方形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题． 1如图1，折痕为，点A的对应点F在上，则折痕的长为______cm； 2如图2，H，G分别为，的中点，A的对应点F在上，折痕为，则______．重叠部分的面积为_______； 3如图3，在图2中，把长方形沿着对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，发现重叠部分是一个______形，证明你的结论； 4在（3）的条件下，这个重叠部分的周长最短是____cm，重叠部分的周长最大周长是____cm． 跟踪训练4 长方形中，点E是的中点，将沿向下折叠后得到，将延长线交直线于点F． 1若点G恰好落在边上，则与的数量关系是____________； 2如果点G在长方形的内部，如图所示 ①试探究线段之间的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长度． 重叠面积问题 典例7 如图，有A、B两个正方形，若将这两个正方形叠放在一起可得到图①，则图中阴影部分面积为1，若将A，B并列放置构造出新的正方形可得到图②，图中阴影部分面积为24，则新构造出的正方形面积为（） A．49B．65C．78D．97 跟踪训练5 如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（） A．0.5B．1C．2D．无法确定 跟踪训练6 如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（ ） A．12B．13C．14D．18 过关训练 1．如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，菱形的对角线交点D的坐标为______ 2．如图，正方形的定点与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 3．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为_____． 4．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 5．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形中，为边上一点，为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点、的对应点分别为点、，且、、三点共线． 1如图1，若为边的中点，，点与点重合，则____，____； 2如图2，若为的中点，，，求的长． 3，，若为的三等分点图仅供参考，请直接写出的长． 6．综合与实践 操作体验数学活动折纸与证明中，有这样一段活动材料 ①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为； ②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B； ③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）． （1）根据以上操作，试证明是等边三角形； 初步探究 （2）某活动小组发现另一种折等边三角形的方法如图2，点N在边上，翻折，使得点B落在折痕上的点H处，连接，则是等边三角形，若； ①求的长； ②连接并延长交的延长线于点M，交于点G，如图3，求的长； 深入探究 （3）另一活动小组将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图4，求证点Q是的三等分点． 7．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足． 1求点A的坐标； 2取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值． 第九章 中心对称图形 平行四边形（坐标与旋转、矩形折叠、特殊四边形动点） 答案全解全析 知识拓展 坐标与旋转规律问题 典例1 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,将线段绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段;又将线段绕点O按逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段;如此下去,得到线段,,（n为正整数）,则点的坐标是（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理,旋转,规律变化知识．正确分析出变化规律是解答本题的关键． 【详解】解∵点的坐标为, ∴, ∵将线段绕点O逆时针方向旋转,再将其长度伸长为的倍,得到线段, ∴, ∵将线段绕点O逆时针方向旋转,长度伸长为的倍,得到线段, ∴, ∴,