北京海淀区2020届高三第一次模拟考试数学试卷含答案

海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数学 2020 春 本试卷共 6 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试 结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数i2i对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 1 ，则集合 B 可以是（2）已知集合A x0 x 3，A B   （A）{1，2}（B）{1，3}（C）{0，1，2}（D）{1，2，3}  y2 （3）已知双曲线x  2 1b  0的离心率为5 ，则 b 的值为 b 2 （A）1（B）2（C）3（D）4 （4）已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （A）ba  ca（B）c  ab（C） （5）在 2x 的展开式中，常数项为 （A）-120（B）120（C）-160（D）160 （6）如图，半径为1 的圆 M 与直线l相切于点A，圆M 沿着直线l滚动．当圆M 滚动到圆 M 时，圆 M 与直线l相切于点 B．点A运动到点 A ，线段AB的长度为 2 cc  （D）bc  ac ba 1 x 6 3 ，则点 M 到直线 BA 的距离为 2 （A）1（B） 321 （C）（D） 222 （7）已知函数f x  xm与函数gx的图象关于 y 轴对称．若gx在区间（1,2）内单调递减，则 m 的取值范围为 （A）[-1，∞（B） （-∞，-1]（C）[-2，∞（D） （-∞，-2] （8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 （A 5 （B）2 2 （C）2 3（D 13  （9）若数列an满足a1 2，则“p，rN ，a pr  a par ”是“an为等比数列”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （10）形如2（n 是非负整数）的数称为费马数，记为Fn．数学家费马根据F 0，F1 ，F 2，F3，F4 都是质 数提出了猜想费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F 5 ，不是质数，那么F 5 的位数是 （参考数据；lg2  0.3010 （A）9（B）10（C）11（D）12 第二部分（非选择题共第二部分（非选择题共 110110分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分。分。 （11）已知点 P（1，2）在抛物线 Cy22px 上，则抛物线 C 的准线方程为． （12）在等差数列{an}中，a13，a2a516，则数列{an}的前 4 项的和为． 2n 1 b b） b b． 2 2 （14）在△ABC 中，AB4 3，∠B，点 D 在边 BC 上，∠ADC，CD2，则 AD； 34 （13）已知非零向量 a a，b b 满足|a a||a a-b b|，则（a a- - △ACD 的面积为． （15）如图，在等边三角形ABC 中，AB6．动点P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点, 记 P 运动的路程为 x，点 P 到此三角形中心 O 距离的平方为f x，给出下列三个结论 ①函数f x的最大值为 12 ； ②函数f x的图象的对称轴方程为 x9； ③关于 x 的方程f xkx3 最多有 5 个实数根． 其中，所有正确结论的序号是． 注 本题给出的结论中， 有多个符合题目要求。 全部选对得 5 分， 不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分。 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16） （本小题共 14 分） 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面 BB1C1C，ABBB12BC2， BC1 3，点E 为 A1C1的 中点． （I）求证C1B⊥平面 ABC （II）求二面角 ABCE 的大小． （17） （本小题共 14 分） 2 已知函数f x  2cos  1x sin  2 x． （I）求f 0的值； （II） 从①  1 1， 2  2； ② 1 1， 2 1这两个条件中任选一个， 作为题目的已知条件， 求函数f x 在     ,  上的最小值，并直接写出函数f x的一个周期．  2 6 注如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。 （18） （本小题共 14 分） 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑， 而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010 年到 2019 年这 10 年研发投入的数据分布图 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比， 条形图是当年研发投入的数值 （单位 十亿元） ． （I）从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10的概率； （II）从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份， 设 X 表示其中研发投入超过500 亿元的年份的个数， 求 X 的分布列和数学期望； （III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由． （19） （本小题共 15 分） x 已知函数f x  e ax． （I）当 a-1 时， ①求曲线y  f x在点（0，f 0）处的切线方程； ②求函数f x的最小值 （II）求证当 a∈（-2，0）时，曲线y  f x与 y1-lnx 有且只有一个交点． （20） （本小题共 14 分） 3x2y2 已知椭圆 C 2  2 1a  0,b  0的离心率为 ，A 1a,0 ，A 2 a,0，B0,b，A 1BA2 的 2ab 面积为 2. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ） 设 M 是椭圆 C 上一点， 且不与顶点重合， 若直线A 1B 与直线A2M交于点 P ， 直线A 1M 与直线A 2B 交于点 Q．求证BPQ为等腰三角形． （21） （本小题共 14 分） 已知数列  a n 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数 kN ，使得a2n1a2n kan，对任意的  nN成立，则称数列a n  具有性质k． （Ⅰ）分别判断下列数列an是否具有性质2； （直接写出结论） n ①an1；②an 2． （Ⅱ） 若数列an满足an1 ann 1,2,3, ， 求证 “数列an具有性质2” 是 “数列a