中考数学-第二轮-专题突破-能力提升-专题集训4-新定义问题试题

精品文档---下载后可任意编辑 专题集训4 新定义问题 一、选择题 1．假如一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的解析式不可能的是 B A．y＝x2－1 B．y＝x2＋6x＋5 C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2＋8x＋17 【解析】将y＝x2＋1反向平移推理两次后，将方程配方成y＝x＋a2＋b的形式，而b只可能为1或0或－1.A，C，D均满足，而B变形后为y＝x＋32－4，不符合． 2．定义符号min{a，b}的含义为当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a.如min{1，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4.则min{－x2＋1，－x}的最大值是 A A. B. C．1 D．0 3．对平面上任意一点a，b，定义f，g两种变换fa，b＝a，－b．如f1，2＝1，－2；ga，b＝b，a．如g1，2＝2，1．据此得gf5，－9＝ D A．5，－9 B．－9，－5 C．5，9 D．9，5 二、填空题 4．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．假如一个“特征三角形”的“特征角”为100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30__． 5．如图，已知抛物线C1y＝a1x2＋b1x＋c1和C2y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M，N.假如点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形．你所写的一对抛物线解析式是__y＝－x2＋2x__和__y＝x2＋2x__. 【解析】答案不唯一，只要符合条件即可． 经分析知对于任何C1，沿x轴翻折后，再向左平移即可得到C2，要使AMBN成矩形，保证AO＝MO即可．而对于抛物线，AM＝AO又是成立的．即△AOM为正三角形，不妨取M2，0，A1，，易得C1y＝－x2＋2x，同理C1经平移翻折后得C2，y＝x2＋2x. 三、解答题 6．对于平面直角坐标系中任意两点P1x1，y1，P2x2，y2，称|x1－x2|＋|y1－y2|为P1，P2两点的直角距离，记作dP1，P2．若P0x0，y0是一定点，Qx，y是直线y＝kx＋b上的一动点，称dP0，Q的最小值为P0到直线y＝kx＋b的直角距离．令P02，－3，O为坐标原点． 1求dO，P0； 2若Pa，－3到直线y＝x＋1的直角距离为6，求a. 解1∵P02，－3，O为坐标原点，∴dO，P0＝|0－2|＋|0－－3|＝5 2∵Pa，－3到直线y＝x＋1的直角距离为6，∴设直线y＝x＋1上一点Qx，x＋1，则dP，Q＝6，∴|a－x|＋|－3－x－1|＝6，即|a－x|＋|x＋4|＝6，当a－x≥0，x≥－4时，原式＝a－x＋x＋4＝6，解得a＝2；当a－x＜0，x＜－4时，原式＝x－a－x－4＝6，解得a＝－10.综上所述，a＝2或－10 7．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1y1＝－2x2＋4x＋2与C2y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”． 1求抛物线C2的解析式； 2点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值． 3设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为－1，4，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上若存在求出点M的坐标，不存在说明理由． 解1∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2x－12＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为1，4．∵抛物线C1与C2顶点相同，∴＝1，－1＋m＋n＝4，解得m＝2，n＝3，∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3 2如图1，设点A的坐标为a，－a2＋2a＋3．∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，∴AQ＋OQ＝－a2＋2a＋3＋a＝－a2＋3a＋3＝－a－2＋.∴当a＝时，AQ＋OQ有最大值，最大值为 3如图2，连结BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.∵B－1，4，C1，4，抛物线的对称轴为x＝1，∴BC⊥CM，BC＝2.∵∠BMB′＝90，∴∠BMC＋∠B′MD＝90.∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90.∴∠MB′D＝∠BMC.在△BCM和△MDB′中， ∴△BCM≌△MDB′.∴BC＝MD，CM＝B′D.设点M的坐标为1，a．则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2.∴点B′的坐标为a－3，a－2．∴－a－32＋2a－3＋3＝a－2.整理得a2－7a－10＝0.解得a＝2或a＝5.当a＝2时，M的坐标为1，2，当a＝5时，M的坐标为1，5．综上所述，当点M的坐标为1，2或1，5时，B′恰好落在抛物线C2上