2020年北京市西城区高二下期末数学试题和答案

1 / 15 2020 北京西城高二（下）期末 数 学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（4 分）在复平面内，复数 1i的共轭复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（4 分）函数 y＝在 x＝1 处的瞬时变化率为（ ） A．2 B． C．﹣ D．1 3．（4 分）（1x）4的展开式中 x2的系数是（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 4．（4 分）曲线在点 Q（1，2）处的切线方程为（ ） A．2xy﹣4＝0 B．2xy4＝0 C．x﹣y1＝0 D．xy﹣1＝0 5．（4 分）某批数量很大的产品的次品率为 p，从中任意取出 4件，则其中恰好含有 3 件次品的概率是（ ） A．p3 B．p3（1﹣p） C．C p3（1﹣p） D．C p3 6．（4 分）已知某一离散型随机变量 X 的分布列如下，且 E（X）＝6.3，则 a的值为（ ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5 B．6 C．7 D．8 7．（4 分）已知函数 f（x）＝xcosx﹣sinx，则的值为（ ） A． B．﹣ C．﹣1 D．﹣π 8．（4 分）已知函数 f（x）和 g（x）的导函数 f′（x），g′（x）图象分别如图所示，则关于函数 y＝g（x）﹣f （x）的判断正确的是（ ） 2 / 15 A．有 3 个极大值点 B．有 3个极小值点 C．有 1个极大值点和 2个极小值点 D．有 2 个极大值点和 1个极小值点 9．（4 分）万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作律学新说中，首次用珠算开方的办法 计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律包括六个阳律（黄钟、 太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、仲吕、林钟、南吕、应钟）．现从这十二平均律 中取出 2个阳律和 2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻， 则可组成不同的旋律（ ） A．450 种 B．900种 C．1350 种 D．1800 种 10．（4分）设函数 f（x）定义域为 D，若函数 f（x）满足对任意 c∈D，存在 a，b∈D，使得 （c）成立，则称函数 f（x）满足性质 Γ．下列函数不满足性质 Γ的是（ ） A．f（x）＝x2 B．f（x）＝x3 C．f（x）＝ex D．f（x）＝lnx 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11．（5分）若复数 z＝，则|z|＝ ． 12．（5分）在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）． 13．（5分）从 3名男医生和 5名女医生中，选派 3人组成医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的选取方法 种数为 ．（用数字作答） 14．（5分）中国福利彩票 3D游戏（以下简称 3D），是以一个 3 位自然数（如0记作 000）为投注号码的彩 票，投注者从 000～999 这些 3位自然数中选择一个进行投注，每注 2元，如果与官方公布的三位数相同，则视 为中奖，获得奖金 1000 元，反之则获得奖金 0 元，某人随机投了一注，他的奖金的期望是 元． 15．（5分）能说明“若 f′（x）为偶函数，则 f（x）为奇函数”为假命题的一个函数是 ． 3 / 15 16．（5分）辛普森悖论（SimpsonsParadox）有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视 之为“魔术”．辛普森悖论为英国统计学家 E．H．辛普森（E．H．Simpson）于 1951年提出的，辛普森悖论的 内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的 结论．” 下面这个案例可以让我们感受到这个悖论关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如表数 据 某高校 申请人数 性别 录取率 法学院 200 人 男 50 女 70 商学院 300 人 男 60 女 90 对于此次招生，给出下列四个结论 ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率． 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．（13分）已知函数 f（x）＝x3﹣3x． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数 f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值和最小值． 18．（13分）某射手打靶命中 8 环、9 环、10 环的概率分别为 0.15，0.25，0.2．如果他连续打靶三次，且每次打 靶的命中结果互不影响． （Ⅰ）求该射手命中 29 环的概率； （Ⅱ）求该射手命中不少于 28 环的概率． 4 / 15 19．（13分）已知函数 f（x）＝x﹣alnx（a≠0）． （Ⅰ）当 a＝1 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f（x）的极值点和极值． 20．（14分）高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续 学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了 100 名学生作为样本进行情 况调研，得到表 组别 选考科目 频数 第 1组 历史、地理、政治 20 第 2组 物理、化学、生物 17 第 3组 生物、历史、地理 14 第 4组 化学、生物、地理 12 第 5组 物理、化学、地理 10 第 6组 物理、生物、地理 9 第 7组 化学、历史、地理 7 第 8组 物理、历史、地理 5 第 9组 化学、生物、政治 4 第 10 组 生物、地理、政治 2 合计100 （Ⅰ）从样本中随机选 1名学生，求该学生选择了化学的概率； （Ⅱ）从第 8组、第 9 组、第 10组中，随机选 2 名学生，记其中选择政治的人数为 X，求 X的分布列和期望； （Ⅲ）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大并说明理 由． 5 / 15 21．（13分）已知函数 f（x）＝ex﹣﹣x﹣1． （Ⅰ）若 a＝0，证明f（x）≥0； （Ⅱ）若曲线 y＝f（x）的切线斜率不存在最小值，求 a的取值范围． 22．（14分）已知函数 f（x）＝lnxax﹣a． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求证当 a＞1时，函数 g（x）＝ex﹣1﹣f（x）存在最小值，且最小值小于 1． 6 / 15 2020 北京西城高二（下）期末数学 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．【分析】先求出共轭复数，然后写出其对应的点，从而可得答案． 【解答】解复数 z＝1i的共轭复数为 z＝1﹣i， 对应的点为（1，﹣1）， 所以该点位于第四象限， 故选D． 【点评】本题考