数学北京市各区一模试题分类解析导数及其应用

精品文档---下载后可任意编辑 x y O 1（2024石景山一模理8）．定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． 22024海淀一模文12.已知函数，则________;函数图象在点处的切线方程为_______ 解答 1（2024西城一模理18）. （本小题满分14分） 已知函数，其中. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值； （Ⅲ）设，求在区间上的最大值. （其中为自然对数的底数） 解（Ⅰ），（），3分 在区间和上，；在区间上，. 所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分 （Ⅱ）设切点坐标为，则 7分（1个方程1分） 解得，. 8分 （Ⅲ）， 则， 9分 解，得， 所以，在区间上，为递减函数， 在区间上，为递增函数. 10分 当，即时，在区间上，为递增函数， 所以最大值为. 11分 当，即时，在区间上，为递减函数， 所以最大值为. 12分 当，即时，的最大值为和中较大者； ，解得， 所以，时，最大值为， 13分 时，最大值为. 14分 综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为. 2（2024西城一模文18）. （本小题满分14分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的极值点； （Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数） 解（Ⅰ），， 2分 由得，3分 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分 所以，是函数的微小值点，极大值点不存在. 5分 （Ⅱ）设切点坐标为，则， 6分 切线的斜率为， 所以，， 7分 解得，， 8分 所以直线的方程为. 9分 （Ⅲ）， 则， 10分 解，得， 所以，在区间上，为递减函数， 在区间上，为递增函数. 11分 当，即时，在区间上，为递增函数， 所以最小值为. 12分 当，即时，的最小值为. 13分 当，即时，在区间上，为递减函数， 所以最小值为. 14分 综上，当时，最小值为；当时，的最小值；当时，的最小值为. 3（2024东城一模理18）（本小题共13分） 已知函数． （Ⅰ）求函数在区间上的最小值； （Ⅱ）证明对任意，都有成立． （Ⅰ）解由，可得． 当单调递减， 当单调递增. 所以函数在区间上单调递增， 又， 所以函数在区间上的最小值为． （Ⅱ）证明由（Ⅰ）可知在时取得最小值， 又， 可知． 由，可得． 所以当单调递增， 当单调递减. 所以函数在时取得最大值， 又， 可知， 所以对任意，都有成立． 42024东城一模文18（本小题共14分） 已知函数，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 解（Ⅰ）由，得． 当时，得， 解之，得． 4分 （Ⅱ）因为． 从而，列表如下 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 有极大值 ↘ 有微小值 ↗ 所以的单调递增区间是和； 的单调递减区间是．9分 （Ⅲ）函数， 有， 因为函数在区间上单调递增， 等价于在上恒成立， 只要，解得， 所以的取值范围是．14分 5（2024朝阳一模理18）．（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间； （Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围； （Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 解 I 直线的斜率为1. 函数的定义域为， 因为，所以，所以. 所以. . 由解得；由解得. 所以的单调增区间是,单调减区间是.4分 II， 由解得；由解得. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以当时，函数取得最小值，. 因为对于都有成立， 所以即可. 则. 由解得. 所以的取值范围是.8分 III依题得，则. 由解得；由解得. 所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以 解得. 所以的取值范围是.13分 62024丰台一模理18.（本小题共13分） 已知函数，为函数的导函数． （Ⅰ）设函数fx的图象与x轴交点为A，曲线yfx在A点处的切线方程是，求的值； （Ⅱ）若函数，求函数的单调区间． 解（Ⅰ）∵， ∴．1分 ∵在处切线方程为， ∴，3分 ∴，．（各1分）5分 （Ⅱ）． ．7分 ①当时，， 0 - 0 微小值 的单调递增区间为，单调递减区间为．9分 ②当时，令，得或10分 （ⅰ）当，即时， 0 - 0 0 - 微小值 极大值 的单调递增区间为，单调递减区间为，；11分 （ⅱ）当，即时，， 故在单调递减；12分 （ⅲ）当，即时， 0 - 0 0 - 微小值 极大值 在上单调递增，在，上单调递13分 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递