数学分析三试卷及答案

精品文档---下载后可任意编辑 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数在点0,0处的二次极限与二重极限. 解，因此二重极限为.4分 因为与均不存在， 故二次极限均不存在。 9分 2. 设 是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求. 解 对两方程分别关于求偏导 ， 4分 。解此方程组并整理得. 9分 3. 取为新自变量及为新函数，变换方程 。 设 （假设出现的导数皆连续）. 解看成是的复合函数如下 。 4分 代人原方程，并将变换为。整理得 。 9分 4. 要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省 解 设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数 , 约束条件 。 3分 构造Lagrange函数。 令 6分 解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。 9分 5. 设,计算. 解由含参积分的求导公式 5分 。 9分 6. 求曲线所围的面积，其中常数. 解利用坐标变换 由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 。 3分 则 6分 . 9分 7. 计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向. 解取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为 。 3分 由Stokes公式得 6分 9分 8. 计算积分,为椭球的上半部分的下侧. 解椭球的参数方程为，其中且 。 3分 积分方向向下，取负号，因此， 6分 9分 二. 证明题（共3题，共28分）。 9.（9分）讨论函数在原点0,0处的连续性、可偏导性和可微性. 解连续性当时， ，当， 从而函数在原点处连续。 3分 可偏导性， ， 即函数在原点处可偏导。5分 可微性 不存在， 从而函数在原点处不可微。 9分 10.（9分）（9分） 设满足 （1）在上连续， （2）， （3）当固定时，函数是的严格单减函数。 试证存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。 证明（i）先证隐函数的存在性。 由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得 ， 。 现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得 ， 。 同理，则必存在使得 ， 。 取，则在邻域内同时成立 ， 。 3分 于是，对邻域内的任意一点，都成立 ， 。 固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得 ＝0。 而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。 6分 （ii）下证隐函数的连续性。 设是内的任意一点，记。 对任意给定的，作两平行线 ， 。 由上述证明知 ， 。 由的连续性，必存在的邻域使得 ， ， 。 对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且 ， 。 于是在内存在唯一的一个零点使 ， 即 对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。 9分 11.（10分）推断积分在上是否一致收敛，并给出证明。 证明此积分在上非一致收敛。证明如下 作变量替换，则 。 3分 不论正整数多么大，当时，恒有。 5分 因此， 7分 ，当时。 因此原积分在上非一致收敛。 10分 注不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下 尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零。事实上，取 相应地取，则，并非趋于零。 数学分析[3] 模拟试题 一、 解答下列各题（每小题5分，共40分） 1、 设求； 2、求 3、设求在点处的值； 4、求由方程所确定的函数在点处的全微分； 5、求函数在点处的梯度； 6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程； 7、计算积分； 8、计算积分； 二、 10分求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。 三、 （10分）若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求 四、 （10分）计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 . 五、 （10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。 六、 （10分）计算，其中是半球面。 七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。 参考答案 一、解答下列各题（每小题5分，共40分） 1、 设求； 解； 。 2、求； 解 3、设求在点处的值； 解 。 4、求由方程所确定的函数在点处的全微分； 解在原方程的两边求微分，可得 将代入上式，化简后得到 5、求函数在点处的梯度； 解 。 6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程； 解记 在点（1，2，0）处的法向量为 则切平面方程为即 法线方程为，即。 7、计算积分； 解 而在上连续，且在[1，2]上一致收敛，则可交换积分次序，于是有 原式。 8、计算积分； 解交换积分顺序得 八、 求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。 解设长方体在第一卦限的顶点坐标为（x,y,z），则长方体的体积为 拉格朗日函数为 由 解得 根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大。 九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求 解 十、 计算,其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 . 解 。 十一、 计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。 解由格林公式 所以 十二、 计算，其中是半球面。 解 十三、 讨论含参变量反常积分在内