抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

精品文档---下载后可任意编辑 过抛物线p0的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A、B两点 结论1 结论2若直线L的倾斜角为，则弦长 证 1若 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径, 2若时,设直线L的方程为即 代入抛物线方程得由韦达定理 由弦长公式得 结论3 过焦点的弦中通径长最小 的最小值为,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4 结论5 1 2 x1x2 证 结论6以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1， 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 故结论得证 结论7连接A1F、B1 F 则 A1FB1F 同理A1FB1 F 结论8（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3） （4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5） 证由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上 AM1BM1 为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 M1FAB AM1BM1 所以M1，Q，F,H四点共圆， 结论9（1）O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线 （3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴 （4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴 证因为，而 所以所以三点共线。同理可征（2）（3）（4） 结论10 证过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与轴交点为E, 则 同理可得 结论11 证 4 x1x2 假设 结论12过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 推广与深化 深化 1性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有． 证设AB方程为myx-a，代入．得，∴． 深化2性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则 证明设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为， 代入得， 即． 由性质1得 ， 又设AB的中点为M，则， ∴， ∴． 深化3过抛物线的焦点F作n条弦，且它们等分周角2π，则有 （1）为定值；（2）为定值． 证明（1）设抛物线方程为． 由题意， 所以， 同理 易知， ∴． （2）∵， ∴， ∴．