中考数学培优满分专题突破专题2图形变式与拓展-人教版初中九年级全册数学试题

word 专题专题 2 2图形变式与拓展图形变式与拓展 常考类型分析常考类型分析 专题类型突破专题类型突破 类型类型 1 1关于三角形的变式拓展问题关于三角形的变式拓展问题 【例 1】在图 1 至图 3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，∠1＝∠2＝45. 1如图 1，若 AO＝OB，请写出 AO 与 BD 的数量关系和位置关系； 2将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 2，其中 AO＝OB.求证AC＝BD，AC ⊥ BD； 3将图 2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 3，求 【思路分析】【思路分析】通过观察可以猜想 AO 与 BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD 的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决． 【解】1AO＝BD，AO⊥BD. 2证明如图 1，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于点 E，延长 AC 交 DB 的延长线于点 F. 1 / 20 word ∴∠ACO＝∠BEO. 又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC ≌△BOE. ∴AC＝BE. 又∵∠1＝45， ∴∠ACO＝∠BEO＝135.∴∠DEB＝45. ∵∠2＝45，∴BE＝BD，∠EBD＝90.∴AC＝BD. ∵BE∥AC，∴∠AFD＝90.∴AC⊥BD. 3如图 2，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于点 E， ∴∠BEO＝∠ACO. 又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE ∽△AOC. 又∵OB＝kAO， 由2的方法易得 BE＝BD. 满分技法满分技法►图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法．在原图 形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系， 可通过类比进行推理、验证，所用方法和第1问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进 行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决． 满分变式必练满分变式必练► △ABC 中，AB＝AC，BC＝6.点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，点 P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线 BC 相交于点 D. 1如图 1，过点 P 作 PF∥AQ 交 BC 于点 F，求证△PDF≌△QDC； 2如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长； 3如图 3，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，在点 P 从点 B 向点 A 移动的过程中，线段 DE 的长度是 否保持不变若保持不变，请求出DE 的长度，若改变，请说明理由． 2 / 20 word 解1∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB. ∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP. 由题意，得 BP＝CQ，∴FP＝CQ. ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC. 2如图，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F. ∵点 P 为 AB 的中点， 3线段 DE 的长度保持不变． 如图，过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F. 2.如图 1，△ABC 中，∠ABC＝45，AH⊥BC 于点 H，点 D 在 AH 上，且 DH＝CH，连接 BD. 1求证BD＝AC； 2将△BHD 绕点 H 顺时针旋转，得到△EHF点 B，D 分别与点 E，F 对应，连接 AE. ①如图 2，当点 F 落在 AC 上时F 不与 C 重合，若 BC＝4，tanC＝3，求 AE 的长； ②如图 3，当△EHF 是由△BHD 绕点 H 逆时针旋转 30得到时，设射线CF 与 AE 相交于点 G， 3 / 20 word 连接 GH，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由． 解1在 Rt△AHB 中，∠ABC＝45， ∴AH＝BH. 在△BHD 和△AHC 中， ∴△BHD≌△AHCSAS．∴BD＝AC. 2①在 Rt△AHC 中， ∵tanC＝3， 设 CH＝x，则 BH＝AH＝3x. ∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1. 由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1， ∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3. 如图，过点 H 作 HP⊥AE 于点 P， ∴HP＝3AP，AE＝2AP. 在 Rt△AHP 中，AP ＋HP ＝AH ， ∴AP ＋3AP ＝9. ②EF＝2GH.理由如下 设 AH 与 CG 交于点 Q， 由①知，△AEH 和△FHC 都为等腰三角形． 又∵旋转角为 30，∴∠FHD＝∠BHE＝30. ∴∠EHA＝∠FHC＝120.∴∠HCG＝∠GAH＝30. ∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90. 又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC. 22 222 4 / 20 word 3.[教材改编题]1问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A，D，E 在同一 直线上，连接 BE，则∠AEB 的度数为________，线段 AD，BE 之间的关系为________； 2拓展探究 如图 2， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∠ACB＝∠DCE＝90，点 A，D， E 在同一直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE. ①请判断∠AEB 的度数，并说明理由； ②当 CM＝5 时，AC 比 BE 的长度多 6 时，求 AE 的长． 解160相等 2①∠AEB＝90.理由如下 ∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90.∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中， ∴△ACD≌△BCESAS． ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC. ∵△DCE 为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45. ∵点 A，D，E 在同一直线上， ∴∠ADC＝135，∠BEC＝135. 5 / 20 word ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90. ②∵在等腰 Rt△DCE 中，∠DCE＝90，CM⊥DE，则有 DM＝CM＝ME＝5. 在 Rt△ACM 中，AM ＋CM ＝AC . 设 BE＝AD＝x，则 AC＝6＋x. ∴x＋5 ＋5 ＝x＋6 ，解得 x＝7. ∴AE＝AD＋DM＋ME＝17. 类型类型 2 2关于四边形的变式拓展问题关于四边形的变式拓展问题 【例 2】 如图 1， 在△ABC 中， 点 D， E 分别是 AB， AC 的中点， 可以得到 DE∥BC， 且 DE＝ 不 需要证明 【探究】如图 2，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，判断 四边形 EFGH 的形状，并加以证明． 【应用】1在【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形 你添加的条件是.只添加一个条件 2如图 3，在四边形 ABCD 中，点