中考数学平行四边形综合练习题含答案

中考数学平行四边形综合练习题含答案 一、平行四边形一、平行四边形 1．四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD，相交于点 O，点 E、F 是直线 AD 上两动点，且 AEDF，CF 所在直线与对角线BD 所在直线交于点 G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H． （1）如图 1，当点 E、F 在线段 AD 上时，①求证∠ DAG∠ DCG；②猜想 AG 与 BE 的位 置关系，并加以证明； （2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分∠ BHG； （3）当点 E、F 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接 写出∠ BHO 的度数． 【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠ BHO45． 【解析】 试题分析（1）①根据正方形的性质得DADC，∠ ADB∠ CDB45，则可根据“SAS”证明 △ ADG≌ △ CDG，所以∠ DAG∠ DCG；②根据正方形的性质得 ABDC， ∠ BAD∠ CDA90，根据“SAS”证明△ ABE≌ △ DCF，则∠ ABE∠ DCF，由于∠ DAG∠ DCG， 所以∠ DAG∠ ABE，然后利用∠ DAG∠ BAG90得到∠ ABE∠ BAG90，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，证明△ AON≌ △ BOM， 可得四边形 OMHN 为正方形，因此 HO 平分∠ BHG 结论成立； （3）如答图 2 所示，与（1）同理，可以证明 AG⊥BE；过点 O 作 OM⊥BE 于点 M， ON⊥AG 于点 N，构造全等三角形△ AON≌ △ BOM，从而证明 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG，即∠ BHO45． 试题解析（1）①∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ DADC，∠ ADB∠ CDB45， 在△ ADG 和△ CDG 中 ， ∴ △ ADG≌ △ CDG（SAS）， ∴ ∠ DAG∠ DCG； ②AG⊥BE．理由如下 ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ ABDC，∠ BAD∠ CDA90， 在△ ABE 和△ DCF 中 ， ∴ △ ABE≌ △ DCF（SAS）， ∴ ∠ ABE∠ DCF， ∵ ∠ DAG∠ DCG， ∴ ∠ DAG∠ ABE， ∵ ∠ DAG∠ BAG90， ∴ ∠ ABE∠ BAG90， ∴ ∠ AHB90， ∴ AG⊥BE； （2）由（1）可知 AG⊥BE． 如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，则四边形 OMHN 为矩形． ∴ ∠ MON90， 又∵ OA⊥OB， ∴ ∠ AON∠ BOM． ∵ ∠ AON∠ OAN90，∠ BOM∠ OBM90， ∴ ∠ OAN∠ OBM． 在△ AON 与△ BOM 中， ∴ △ AON≌ △ BOM（AAS）． ∴ OMON， ∴ 矩形 OMHN 为正方形， ∴ HO 平分∠ BHG． （3）将图形补充完整，如答图2 示，∠ BHO45． 与（1）同理，可以证明 AG⊥BE． 过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N， 与（2）同理，可以证明△ AON≌ △ BOM， 可得 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG， ∴ ∠ BHO45． 考点1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质 2．如图，△ ABC 是等边三角形，AB6cm，D 为边 AB 中点．动点 P、Q 在边 AB 上同时从 点 D 出发，点 P 沿 D→A 以 1cm/s 的速度向终点 A 运动．点 Q 沿 D→B→D 以 2cm/s 的速度 运动，回到点 D 停止．以 PQ 为边在 AB 上方作等边三角形 PQN．将△ PQN 绕 QN 的中点旋 转 180得到△ MNQ．设四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形的面积为 S（cm2），点 P 运 动的时间为 t（s）（0＜t＜3）． （1）当点 N 落在边 BC 上时，求 t 的值． （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，求 t 的值． （3）当点 Q 沿 D→B 运动时，求 S 与 t 之间的函数表达式． （4）设四边形 PQMN 的边 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F，直接写出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的面积比为 23 时 t 的值． 【答案】（1） （2）2（3）SS 菱形 PQMN2S△ PNQ t1 或 【解析】 t2；（4） 试题分析（1）由题意知当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合，此时 DQ3； （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上，此时 PDDQ； （3）当 0≤t≤ 时，四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形PQMN；当 ≤t≤ 时，四 边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为五边形 PQFEN． （4）MN、MQ 与边 BC 的有交点时，此时 ＜t＜ 面积表达式后，即可求出t 的值． 试题解析（1）∵ △ PQN 与△ ABC 都是等边三角形， ∴ 当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合． ∴ DQ3 ∴ 2t3． ∴ t ； （2）∵ 当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上， ∴ PDDQ， 当 0＜t＜ 时， 此时，PDt，DQ2t ∴ t2t ∴ t0（不合题意，舍去）， 当 ≤t＜3 时， 此时，PDt，DQ6﹣2t ∴ t6﹣2t， 解得 t2； 综上所述，当点 N 到点 A、B 的距离相等时，t2； （3）由题意知此时，PDt，DQ2t 当点 M 在 BC 边上时， ∴ MNBQ ∵ PQMN3t，BQ3﹣2t ∴ 3t3﹣2t ∴ 解得 t 如图①，当 0≤t≤ 时， S△ PNQPQ2t2； t2， ，列出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的 ∴ SS 菱形 PQMN2S△ PNQ 如图②，当 ≤t≤ 时， 设 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F， ∵ MNPQ3t，NEBQ3﹣2t， ∴ MEMN﹣NEPQ﹣BQ5t﹣3， ∵ △ EMF 是等边三角形， ∴ S△ EMF ME2（5t﹣3）2 ． ； （4）MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F， 此时 ＜t＜ t1 或 ， ． 考点几何变换综合题 3．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点 A，B 的坐标分别为（4，0）， （4，3），动点 M，N 分别从 O，B 同时出发．以每秒 1 个单位的速度运动．其中，点M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动．过点 M 作 MP⊥OA，交 AC 于 P，连接 NP，已知动点运动了 x 秒． （1）P 点的坐标为多少（用含x 的代数式表示）； （