中考数学压轴题费马点

费马点费马点 解题思路解题思路 费马点费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 这个最 小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于 120，那么三角形的费马点与各顶点的 连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于 120，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 一、若三角形有一个内角大于等于一、若三角形有一个内角大于等于120，则此钝角的顶点即为120，则此钝角的顶点即为 该三角形的费马点该三角形的费马点 如图在△ABC中， ∠BAC≥120， 求证 点A为△ABC 的费马点 证明 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP ＝ ∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120 1 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 二、若三角形的内角均小于二、若三角形的内角均小于120，则以三角形的任意两边向外120，则以三角形的任意两边向外 作等边三角形，作等边三角形， 两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角 形的费马点．形的费马点． 如图，在△ABC中三个内角均小于 120，分别以AB、AC为边向外作 等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证 点O为△ABC的费马点 证明在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 2 将△AOC绕着点A逆时针旋转 60，得到△AO′D连接OO′则 O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在 △ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于 120，O为费马 点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120，所以三角形的费马点也叫三三 角形的等角中心角形的等角中心 例例 1 1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－6，0）， 点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（6，4 3），延长AC至点D 使得CD＝AC，过点DE作DE//AB，交BC的延长线于点E，设G为y 轴上的一点，点P从直线y＝ 3x＋6 3与 y轴的交点M出发，先沿 y轴到达点G，再沿GA到达点A，若点P在y轴上运动的速度是它在 直线GA上运动速度的 2 倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要 求到达A所用的时间最短 3 解∵t＝ GM  GA  2GAGM 2vv2v ∴当 2GA＋GM最小时，时间最短 如图，假设在OM上存在一点G，则BG＝AG ∴MG＋2AG＝MG＋AG＋BG 把△MGB绕点B顺时针旋转 60，得到△M′G′B，连结GG′， MM′ ∴△GG′B、△MM′B都为等边三角形 则GG′＝G′B＝GB 又∵M′G′＝MG ∴MG＋AG＋BG＝M′G′＋GG′＋AG ∵点A、M′为定点 ∴AM′与OM的交点为G，此时MG＋AG＋BG最小 ∴点G的坐标为（0，2 3） 4 例例 2 2A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建 立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通， 并是整个公路系 统的总长度为最小，则应当如何修建 解如图，将△ABP绕点N逆时针旋转 60，得到△EBM；同样，将 △DCQ绕点C顺时针旋转 60，得到△FCN，连结AE、DF，则△ABE、 △DCF均为等边三角形，连结PM、QN，则△BPM，△CQN均为等边三 角形 所以当点E，M，P，Q，N，F共线时，整个公路系统的总长取到 最小值，为线段EF的长，如图，此时点P，Q在EF上，1＝2＝ 3＝4＝30． 5 A AD D E E MM P PQ Q N N F F B BC C 进阶训练进阶训练 1．如图，在ABC中，ABC＝60，AB＝5，BC＝3，P是ABC 内一点，求PA＋PB＋PC的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值 时，APC的度数． A A P P B B C C ．答案PA＋PB＋PC的最小值为 7，此时APC＝120 AA A A PP P P E EB BC C 【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转 60，得到ABP， 连结PP，AC． 过点A作AEBC， 交CB的延长线于点E． 解 RtAEC 求AC的长，所得即为PA＋PB＋PC的最小值． 2． 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对 6 角线BD上任意一点， 将BM绕点B逆时针旋转 60得到BN， 连结AM， CM，EN． （1）当M在何处时，AM＋CM的值最小 （2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小请说明理由； （3）当AM＋BM＋CM的最小值为 A A 31时，求正方形的边长． D D E E N N MM B B C C 答案（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小 值为AC的长； （2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的 值最小，最小值为CE的长． （3）正方形的边长为 2 ． 【提示】（3） 过点E作EFBC， 交CB的延长线于点F， 解 RtEFC 即可． A A D D E E N N MM F F B B C C 7