中考数学圆与相似综合题及答案

中考数学圆与相似综合题及答案 一、相似一、相似 1．如图，已知 A（﹣2，0），B（4，0），抛物线 yax2bx﹣1 过 A、B 两点，并与过 A 点 的直线 y﹣ x﹣1 交于点 C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使四边形 ACPO 的周长最小若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点 M 为 y 轴右侧抛物线上一点，过点 M 作直线 AC 的垂线，垂足为 N．问是否存 在这样的点 N，使以点 M、N、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点 N 的坐 标，若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解把 A（-2，0），B（4，0）代入抛物线 yax2bx-1，得 解得 ∴ 抛物线解析式为y x2− x−1 ∴ 抛物线对称轴为直线 x-＝1 （2）解存在 使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PCPO 最小 ∴ 取点 C（0，-1）关于直线 x1 的对称点 C′（2，-1），连 C′O 与直线 x1 的交点即为 P 点． 设过点 C′、O 直线解析式为ykx ∴ k- ∴ y- x 则 P 点坐标为（1，-） （3）解当△ AOC∽ △ MNC 时， 如图，延长 MN 交 y 轴于点 D，过点 N 作 NE⊥y 轴于点 E ∵ ∠ ACO∠ NCD，∠ AOC∠ CND90 ∴ ∠ CDN∠ CAO 由相似，∠ CAO∠ CMN ∴ ∠ CDN∠ CMN ∵ MN⊥AC ∴ M、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点 设点 N 坐标为（a，- a-1） 由△ EDN∽ △ OAC ∴ ED2a ∴ 点 D 坐标为（0，-a−1） ∵ N 为 DM 中点 ∴ 点 M 坐标为（2a，a−1） 把 M 代入 y x2−x−1，解得 a4 则 N 点坐标为（4，-3） 当△ AOC∽ △ CNM 时，∠ CAO∠ NCM ∴ CM∥ AB 则点 C 关于直线 x1 的对称点 C′即为点 N 由（2）N（2，-1） ∴ N 点坐标为（4，-3）或（2，-1） 【解析】【分析】（1）根据点 A、B 的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴 即可解答。 （2）使四边形 ACPO 的周长最小，只需 PCPO 最小，取点 C（0，-1）关于直线 x1 的对 称点 C′（2，-1），连 C′O 与直线 x1 的交点即为 P 点，利用待定系数法求出直线 C′O 的解 析式，再求出点 P 的坐标。 （3）分情况讨论当△ AOC∽ △ MNC 时，延长 MN 交 y 轴于点 D，过点 N 作 NE⊥y 轴于 点 E，由∠ ACO∠ NCD，∠ AOC∠ CND90得出∠ CDN∠ CAO，再证明∠ CDN∠ CMN，根 据 MN⊥AC，可得出 M、D 关于 AN 对称，则 N 为 DM 中点，设点 N 坐标为（a，- a- 1），根据△ EDN∽ △ OAC，得出点 D、M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式 求出 a 的值，即可得出点 N 的坐标；当△ AOC∽ △ CNM 时，∠ CAO∠ NCM，得出 CM∥ AB 则点 C 关于直线 x1 的对称点 C′即为点 N，就可求出点 N 的坐标。 2．如图，在平面直角坐标系中，直线 y﹣ x与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，与直线 y相交于点 C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点 Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向O 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t＜ 2）． （1）直接写出点 C 坐标及 OC、BC 长； （2）连接 PQ，若△ OPQ 与△ OBC 相似，求 t 的值； （3）连接 CP、BQ，若 CP⊥BQ，直接写出点 P 坐标． 【答案】（1）解对于直线 y﹣ x，令 x0，得到 y， ∴ A（0，）， 令 y0，则 x10， ∴ B（10，0）， 由 ∴ C（，）． ，解得， ∴ OC 8， BC 10 （2）解①当 ∴ ∴ t． ②当 ∴ ∴ t1， 综上所述，t 的值为或 1s 时，△ OPQ 与△ OBC 相似 时，△ OPQ∽ △ OBC， ， ， 时，△ OPQ∽ △ OCB， （3）解如图作 PH⊥OC 于 H． ∵ OC8，BC6，OB10， ∴ OC2BC2OB2 ， ∴ ∠ OCB90， ∴ 当∠ PCH∠ CBQ 时，PC⊥BQ． ∵ ∠ PHO∠ BCO90， ∴ PH∥ BC， ∴ ∴ ， ， ∴ PH3t，OH4t， ∴ tan∠ PCHtan∠ CBQ， ∴， ∴ t或 0（舍弃）， ∴ t s 时，PC⊥BQ． 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 A,B 点的坐标，解联立直线 AB,与直线 OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接 算出 OC,OB 的长； （2）根据速度乘以时间表示出OP5t，CQ4t，OQ8-4t，①当 OP∶OCOQ∶OB 时， △ OPQ∽ △ OCB，根据比例式列出方程，求解得出t 的值；②当 OP∶OBOQ∶OC 时， △ OPQ∽ △ OBC，根据比例式列出方程，求解得出t 的值，综上所述即可得出t 的值； （3）如图作PH⊥OC 于 H．根据勾股定理的逆定理判断出∠ OCB90，从而得出当 ∠ PCH∠ CBQ 时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出 PH∥ BC，根据平行线分线段 成比例定理得出 OP∶OBPH∶BCOH∶OC,根据比例式得出 PH3t，OH4t，根据等角的同 名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠ PCHtan∠ CBQ，列出方程，求解得出 t 的 值，经检验即可得出答案。 3．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球. （1）球在地面上的影子是什么形状 （2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化 （3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是 3 m,球的半径是 0.2 m,则球在地面上影 子的面积是多少 【答案】（1）解球在地面上的影子的形状是圆. （2）解当把白炽灯向上平移时,影子会变小. （3）解由已知可作轴截面，如图所示 在 Rt△ OAE 中， ∴ OA m， 依题可得OE1 m，AE0.2 m，OF3 m，AB⊥OF 于 H， ∵ ∠ AOH∠ EOA，∠ AHO∠ EAO90， ∴ △ OAH∽ △ OEA， ∴， ∴ OH m， 又∵ ∠ OAE∠ AHE90，∠ AEO∠ HEA， ∴ △ OAE∽ △ AHE， ∴ ， ∴ AH 2625 m. 依题可得△ AHO∽ △ CFO， ∴ AHCFOHOF ， ∴ CF AH⋅ OFOH 26253242564 m， ∴ S 影子 πCF2π 642 38 π