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中考二轮复习资料之证明两角相等的方法

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中考二轮复习资料之证明两角相等的方法

,. 中考二轮复习之证明两角相等的方法中考二轮复习之证明两角相等的方法 【相关定理或常见结论】【相关定理或常见结论】 1 1、相交线、平行线、相交线、平行线 (1)对顶角相等; (2)等角的余角(或补角)相等; (3)两直线平行,同位角相等、内错角相等; (4)凡直角都相等; (5)角的平分线分得的两个角相等. 2 2、三角形、三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形底边上的高(或中线)平分顶角(三线合一) ; (3)三角形外角和定理三角形外角等于和它不相邻的内角之和 (4)全等三角形的对应角相等; (5)相似三角形的对应角相等. 3 3、四边形、四边形 (1)平行四边形的对角相等; (2)菱形的每一条对角线平分一组对角; (3)等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4 4、圆、圆 (1)在同圆或等圆中,若有两条弧相等或有两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等; (2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等. ,圆心角相等. (3)圆周角定理在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ,. (4)圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. (5)三角形的内心的性质三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. (6)正多边形的性质正多边形的外角等于它的中心角. (7)从圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角; 5 5、利用等量代换、等式性质、利用等量代换、等式性质 证明两角相等证明两角相等. . 6 6、利用三角函数计算出角的度数相等、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】【典题精析】 (一)(一) 利用全等相关知识证明角相等利用全等相关知识证明角相等 例例 1 1 已知 如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD 交于点O,且BD CE. 求证AO平分BAC. 例例 2 2 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 是四边形内一点,ED⊥ AD,BEDC,∠ECB45 求证∠EBC=∠EDC 例例 3 3 如图,已知四边形ABCD中 ACBD,CD∥BA,四边形AEBC 是平行四边形. 求证∠ABD=∠ABE. B E A A D D O O B B E E C C AD FC ,. (二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系(二)利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系 例例 4 4.已知△ABC 中,AD 是高,CE 是中线,DCBE,DG⊥CE,G 是垂足, 求证⑴G 是 CE 的中点;⑵∠B2∠BCE. 例例 5 5 如图,直线AC∥BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、 ④四个部分,规定线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA,PB, 构成PAC,APB,PBD三个角. (提示有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是0角. )o (1)当动点P落在第①部分时,求证APB  PAC PBD; (2)当动点P落在第②部分时,APB  PAC PBD是否成立(直接回答成立或不 成立) (3)当动点P在第③部分时,全面探究PAC,APB,PBD之间的关系,并写出动 ③③ 点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明. CCA A ② ③ A ② C ① P B ④ ①②① DB ④ DB ④ D ,. (三)利用四边形的相关知识证明角的有关问题(三)利用四边形的相关知识证明角的有关问题 例例 6 6 已知如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点E 为圆 心,EB 为半径画弧,交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使, 连结 FC.求证∠F=∠A. (四)利用圆的相关知识(四)利用圆的相关知识 AB AG,AD⊥BC.例例 7 7 如图,已知 BC 是直径, 求证求证 (1)∠EAF∠AFE (2)BEAEEF ,. 例例 8 8 已知如图,AD 为锐角△ABC 外接圆的直径,AE⊥BC 于 E,交⊙O 于 F。 求证∠1∠2 例例 9 9已知如图, AB 为⊙O 的直径,AC 为弦,CD⊥AB 于 D,若AE =AC,BE 交⊙O 于点 F,连结 EF、DE. 求证 (1)AE2=ADAB; (2)∠ACF=∠AED. ,. (五)利用三角函数求两角之间的关系(五)利用三角函数求两角之间的关系 例例 1010已知抛物线y  ax bx c的图象与 x 轴交于 A、 B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,与 y 轴交于点 C(0,3) , 过点 C 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 D,抛物线的顶点 为 M,直线 y x5 经过 D、M 两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)连接 AM、AC、BC,试比较∠MAB 和∠ACB 的大小,并说明你的理由. 【智能巧练】【智能巧练】 ⒈如图,△ABC 中,∠B 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点D,则∠D 与 ∠A 的比是________ ⒉⒉.已知,如图,在△ABC 中,AC2AD AB。 求证∠ACD∠ABC。 ⒊⒊ 如图,已知平行四边形ABCD 中,E 是 CA 延长线上的点, F 是 AC 延长线上的点,且 AECF ED 2 A D BCE A BC F ,. 求证⑴∠E∠F; ⑵BEDF ⒋ 如图,△ABC 中,高 BD、CE 交于点 F,且 CGAB,BFAC,连接 AF, 求证AG⊥AF G E D F A A E F BDM C BC 第 4 题第 5 题 ⒌ Rt△ABC 中,∠A90,ABAC,D 为 BC 上任意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别 为 F、E,M 为 BC 中点,试判断△MEF 是什么形状的三角形,并说明之. 6. 已知 如图, AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线, 交 BC 的延长线于点 D. 延 长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F. ⑴求证∠FBC∠FCB; B F A C E D ,. ⑵若FA  2 3, AD  4 3,求 FB 的长. 7.⑴如图,已知直线AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线AF 交⊙O 于 F(不与 B 重合) , 直线 l 交⊙O 于 C、D,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连结 B AC、AD. O 求证①∠BAD=∠CAG;②ACAD=AEAF. ⑵在问题⑴中,直线 l 向下平行移动,与⊙O 相切,其他条件不变. ①请你画出变化后的图形,并对照图,标记字母; ②问题⑴中的两个结论是否仍成立如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理 由. 8.如图,⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点 D,DF⊥ O D F A l D 图1 C G E E F AB C AC,垂足为 F,DE⊥BC,垂足为 E,给出下列 4 个结论 ,.    ①CECF;②∠ACB∠EDF;③DE 是⊙O 的切线;④ADBD; 其

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