12个几何典型题目

例例 1 1 （（利用比例线段证线段之间的一半关系利用比例线段证线段之间的一半关系）） 在△ABC中，AB BC，BD AC于点D． （1）如图1，当ABC90时，若CE平分ACB，交AB于点E，交BD于 点F． ①求证△BEF是等腰三角形； ②求证BD 2 BCBF； （2）点E在AB边上，连接CE．若BD 2 BC BE，在图2中补全图形， 判断ACE与ABC之间的数量关系， 写出你的结论， 并写出求解 ACE与ABC关系的思路． B B E F 1 1 C A D 图2 C A D 图1 证明 在△ABC中，AB BC， BD AC于点D． ∴ABDCBD， AD BD． （1）①∵ABC90， ∴ACB45． ∵CE平分ACB ∴ECBACE22.5， ∴BEFCFDBFE67.5， ∴ BE  BF． ∴△BEF是等腰三角形． ②延长 AB至M，使得BM  AB，连接CM ． ∴BD∥CM，BD  1 CM． 2 A D C E F B M ∴BCM DBCABDBMC 45，BFEMCE． ∴BC BM． 由①可得，BEF  BFE,BE  BF． ∴BFEMCEBEF． ∴EM  MC． ∴BD 1 BCBF． 2 P （2）ACE  1 ABC． 4 B a．与（1）②同理可证BD∥PC，BD 1 PC， 2 BP BC； b． 由BD 1 BCBF可知△PEC和△BEF分别 2 F A D C 是等腰三角形； c．由BEFBFEEBF 180， 1 FCDDFC90，可知ACE ABC． 4 【点评】 此题解题思路很好，主要考查了全等三角形的判定与性质，此题解题思路很好，主要考查了全等三角形的判定与性质， 等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用， 解决问题的解决问题的 关键是作辅助线，关键是作辅助线，构造等腰三角形。构造等腰三角形。本题可以作平行线为辅助线，本题可以作平行线为辅助线，用用 比例线段来解决比较好理解。比例线段来解决比较好理解。建议汇集县级几何专题建议汇集县级几何专题 （三角形全等、勾股定理、角边关系、（三角形全等、勾股定理、角边关系、 平行等相关证明）平行等相关证明）例例 2 2 已知在△ABC 中，∠ACB900，点 P 是线段 AC 上一点，过点 A 作 AB 的垂线， 交 BP 的延长线于点 M， MN⊥AC 于点 N， PQ⊥AB 于点 Q， A0MN． （1）如图 l，求证PCAN； （2） 如图 2，点 E 是 MN 上一点，连接 EP 并延长交 BC 于点 K，点 D 是 AB 上一点，连接 DK，∠DKE∠ABC，EF⊥PM 于点 H，交 BC 延长线 于点 F，若 NP2，PC3，CKCF23，求 DQ 的长． 解 （1）证明∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAMANM90 ∴∠PAQ∠MAN∠MAN∠AMN90，∴∠PAQ∠AMN ∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA∠ANM90 ∴AQMN∴△AQP≌△MNA（ASA） ∴ANPQ，AMAP。∴∠AMB∠APM ∵∠APM∠BPC∠BPC∠PBC90，∠AMB∠ABM90 ∴∠ABM∠PBC ∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQPC（角平分线的性质） ∴PCAN （2）∵NP2 PC3，∴由（1）知 PCAN3。∴APNC5，AC8 ∴AMAP5。∴AQ MN  AM2AN2 4 ∵∠PAQ∠AMN，∠ACB∠ANM90，∴∠ABC∠MAN ∴tanABC tanMAN  MN  4 AN3 ∵tanABC AC ，∴BC6 BC ∵NE∥KC，∴∠PEN∠PKC 又∵∠ENP∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴ NE  NP CKPC ∵CKCF23，设 CK2k，则 CF3k ∴ NE  2 ，NE  4 k 2k33 过 N 作 NT∥EF 交 CF 于 T，则四边形 NTFE 是平行四边形 ∴NETF 4 k，∴CTCF－TF3k－ 4 k 5 k 333 ∵EF⊥PM，∴∠BFH∠HBF90∠BPC∠HBF ∴∠BPC∠BFH ∵EF∥NT，∴∠NTC∠BFH∠BPC ∴tanNTC  tanBPC  BC  2 PC ∴tanNTC  NC  2，CT  1 NC 5 CT2 322 2 ∴CT 5 k 5 ∴k 3 ∴CK2 3 3，BKBC－CK3 2 ∵∠PKC∠DKC∠ABC∠BDK，∠DKE∠ABC∴∠BDK∠PKC ∴tanPKC PC 1 KC ∴tan∠BDK1 过 K 作 KG⊥BD 于 G ∵tan∠BDK1，tan∠ABC 4 3 ∴设 GK4n，则 BG3n，GD4n ∴BK5n3，∴n 3 5 ∴BD4n3n7n 21 5 ∵AB AC2BC210，AQ4 ∴BQAB－AQ6 ∴DQBQ－BD6－ 21 9 55 【点评】 此题综合考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、解直此题综合考查了相似三角形、全等三角形、勾股定理、解直 角三角形、角平分线性质、平行四边形、矩形等重要知识点。题干中角三角形、角平分线性质、平行四边形、矩形等重要知识点。题干中 给出的条件较多，图形复杂，难度较大。给出的条件较多，图形复杂，难度较大。不建议汇集县级几何专题不建议汇集县级几何专题 （等边三角形性质、全等、相似、角边关系、勾股定理逆（等边三角形性质、全等、相似、角边关系、勾股定理逆例例 3 3 定理、变化中的不变、垂直、平行等相关证明）定理、变化中的不变、垂直、平行等相关证明） 等边△ABC 的边长为 2，P 是 BC 边上的任一点（与 B、C 不重合） ，连 接 AP，以 AP 为边向两侧作等边△APD 和等边△APE，分别与边 AB、 AC 交于点 M、N（如图 1） 。 （1）求证AMAN； （2）设 BPX。 ①若 BM 3 ，求 X 的值； 8 ②记四边形 ADPE 与△ABC 重叠部分的面积为 S， 求 S 与 x 之间的函数 关系式以及 S 的最小值； ③连接 DE，分别与边 AB、AC 交于点 G、H（如图 2） ，当 x 取何值时， ∠BAD150并判断此时以 DG、GH、HE 这三条线段为边构成的三角形 是什么特殊三角形，请说明理由。 解 （1）证明 ∵△ABC、△APD 和△APE 都是等边三角形， ∴ADAP，∠DAP∠BAC600，∠ADM∠APN600。∴∠DAM∠PAN。 ∴△ADM≌△APN（ASA） ，∴AMAN。 （2）①易证△BPM∽△CAP，∴ BM  CP BP ，