速算和巧算四

第二讲速算和巧算四 第二讲第二讲 速算与巧算（四）速算与巧算（四） 例例 1 1 比较下面两个积的大小 A＝987654321123456789， B＝987654322123456788. 分析 经审题可知 A 的第一个因数的个位数字比 B 的第一个因数的个 位数字小 1，但 A 的第二个因数的个位数字比 B 的第二个因数的个位数字 大 1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道 A 和 B 哪个大.但是无论是对 A 或是对 B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将 A 和 B 先进行恒等变形，再作判断. 解 A＝987654321123456789 ＝987654321（123456788＋1） ＝987654321123456788＋987654321. B＝987654322123456788 ＝（987654321＋1）123456788 ＝987654321123456788＋123456788. 因为 987654321＞123456788，所以 A＞B. 例例 2 2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由. 241249 242248 243247 244246 245245. 解利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断. 241249＝（240＋1）（2501）＝240250＋19； 242248＝（240＋2）（2502）＝240250＋28； 243247＝（240＋ 3）（250 3）＝ 240250＋37； 244246＝（240＋4）（2504）＝240250＋46； 245245＝（240＋5）（250 5）＝240250＋55. 1 / 6 第二讲速算和巧算四 恒等变形以后的各式有相同的部分 240 250，又有不同的部分 1 9， 28， 37， 4 6， 55，由此很容易看出 245245 的积最 大. 一般说来，将一个整数拆成两部分将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越（或两个整数），两部分的差值越 小时，这两部分的乘积越大小时，这两部分的乘积越大. . 如10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 则 55＝25 积最大. 例例 3 3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006 五个数的总和. 解五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出 1986 是这五个 数的平均值，故其总和为 19865＝9930. 例例 4 4 2、4、6、8、10、12是连续偶数，如果五个连续偶数的和是 320， 求它们中最小的一个. 解五个连续偶数的中间一个数应为 3205＝64，因相邻偶数相差 2，故这五个偶数依次是 60、62、64、66、68，其中最小的是 60. 总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数， 中间一个数为首末两数的平均值； 五个连续自然数，中间的数也有类似的 性质它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数 可以记作x－2、x1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然 数，最中间的数是所有这些自然数的平均值. 如对于 2n＋1 个连续自然数可以表示为xn，xn＋1，x－n＋ 2，， x1， x， x＋1，x＋n1，x＋n，其中 x 是这 2n＋1 个自 然数的平均值. 巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题. 例例 5 5 将 1～1001 各数按下面格式排列 2 / 6 第二讲速算和巧算四 一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于 ①1986，②2529，③1989，能否办到如果办不到，请说明理由. 解仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均 值，即中数.又因横行相邻两数相差 1，是 3 个连续自然数，竖列 3 个数 中，上下两数相差 7.框中的九个数之和应是 9 的倍数. ①1986 不是 9 的倍数，故不行； ②25299＝281，是 9 的倍数，但是 2817＝407＋1，这说明 281 在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行； ③19899＝221，是 9 的倍数，且 2217＝317＋4，这就是说 221 在数表中第四列， 它可做中数.这样可求出所框九数之和为 1989 是办得到 的，且最大的数是 229，最小的数是 213. 这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的 月历卡上还有那么多有趣的问题呢所以平时要注意观察，认真思考，积 累巧算经验. 习题二习题二 1.右图的 30 个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经 填好， 其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的 数之和（如方格中 a＝14＋17＝31）.右图填满后，这 30 个数的总和是多 少 2.有两个算式①9876598769， ②98766 98768， 请先不要计算出结果， 用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多 少 3.比较 568764 和 567765 哪个积大 4.在下面四个算式中，最大的得数是多少 ① 19921999＋1999 3 / 6 第二讲速算和巧算四 ② 19931998＋1998 ③ 19941997＋1997 ④ 19951996＋1996 5.五个连续奇数的和是 85，求其中最大和最小的数. 6.45 是从小到大五个整数之和， 这些整数相邻两数之差是 3，请你写 出这五个数. 7.把从 1 到 100 的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方 面 3 个数，宽的方面 2 个数，一共 6 个数用长方形框围起来，这 6 个数的 和为 81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的 6 个数的和为 429， 问此时长方形框子里最大的数是多少 习题二解答习题二解答 1.先按图意将方格填好， 再仔细观察， 找出格中数字的规律进行巧算. 解法 1 先算每一横行中的偶数之和（12＋14＋16＋18）6＝360. 再算每一竖列中的奇数之和 （11＋13＋15＋17＋19） 5＝375 最后算 30 个数的总和＝10＋360＋375＝745. 4 / 6 第二讲速算和巧算四 解法 2把每格的数算出填好. 先算出 10＋11＋12＋13＋14 ＋15＋16＋17＋18＋19＝145， 再算其余格中的数.经观察可以列出下式 （23＋37）＋（25＋35） 2 ＋（27＋33）3＋（29 ＋31） 4 ＝ 60 （1＋ 2＋ 3＋4） ＝600 最后算总和 总和＝145＋600＝745. 2. ① 98765 98769 ＝ 98765 （98768＋ 1） ＝ 98765 98768＋98765. ② 98766 98768 ＝（98765＋1） 98768 ＝ 98765 98768＋ 98768. 所以②比①大 3. 3.同上题解法相同568764＞567765. 5 / 6 第二讲速算和巧算四 4.根据“若保持和不变，则