解三角形中相关的取值范围问题

. 解决与三角形相关的取值范围问题解决与三角形相关的取值范围问题 例例 1 1在锐角 ABC中，A 2B，则 的取值范围是 例例 2 2 假设 ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C， 则sinBcosB的取值范围是 例例 3 3在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosB,ccos A 成等差数列。 〔1〕求B的大小。 〔2〕假设b 5，求 ABC周长的取值范围。 例例 4 4在 ABC中，a2b2 c2ab，假设ABC的外接圆半径为 则 ABC的面积的最大值为 例例 5 5 〔2008， 〕满足AB  2, AC  2BC的ABC的面积的最大值是 例例 6 6角 A,B,C 是 ABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量 m  1cosA B,cos A B5AB9 ，n  ,cos，且mn  2828 2 3 3 2 ， 2 c b 〔1〕求tan AtanB的值。 〔2〕求 absinC 的最大值。 a2b2c2 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、根本不等式、二 次函数、向量等知识综合考察。这一类问题有利于考察学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些根本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。 稳固练习稳固练习 1．在 ABC中，a  2,c 1，则C的取值范围为 . . 2．假设钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小 边长的比值为m，则m的取值范围是 3．在，且A,B,C所对的边a,b,c满足ab  xc，则实 Rt ABC中，C  2  数x的取值范围为 4．在锐角 ABC中，A 2B，AC 1，则BC的取值范围是 5．在锐角 ABC中，三个内角A,B,C成等差数列，记M  cosAcosC， 则M的取值范围是 6．锐角三角形的边长分别为1,3,a，则a的取值范围是 7 ． ABC 外 接 圆 的 半 径 为 6 ， 假 设 面 积 S 4 sin BsinC  ，则sin A，S 3 ABC ABC  a2bc2 且 的最大值为 8．在 ABC中，m  sin A,cos C,n  cos B,sin A，且mn  sin BsinC 〔1〕求证 ABC为直角三角形 〔2〕假设 ABC外接圆的半径为1，求ABC的周长的取值范围 9．在 ABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c，2sin A 3cos A 〔1〕假设a2c2 b2mbc，求实数m的值 〔2〕假设a  3，求ABC面积的最大值。 解决与三角形相关的取值范围问题解决与三角形相关的取值范围问题 例例 1 1在锐角 ABC中，A 2B，则 的取值范围是 解析解析由0  A 2B  且0 C  A B  2 c b  2 csinCsin3Bsin2BcosBcos2Bsin B  4cos2B1， 得  B  ，所以  64bsin Bsin Bsin B 又cosB 23c ,所以 4cos2B11,2 22b 点评点评①此题易错在求B的范围上，容易无视“ ABC是锐角三角形〞 . . 这个条件。②此题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多 元为一元，表达了解题的通性通法。 例例 2 2 假设 ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C， 则sinBcosB的取值范围是 解解析析由题设知 b2 ac ，又余弦定理知 a2c2b2a2c2ac2acac1 cosB  2ac2ac2ac2 所 以 0  B    3 ， 又 sin BcosB 2sinB且 B 44  4  7 所 以 12 2sinB1, 2]即sinBcosB的取值范围是1, 2]。 4 点评点评此题将数列、根本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起 来，有利于提高学生解题的综合能力。 例例 3 3在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosC,bcosB,ccos A 成等差数列。 〔1〕求B的大小。 〔2〕假设b 5，求 ABC周长的取值范围。 解析解析 〔1〕由题意知acosC ccosA 2bcosB， 由正弦定理得sin AcosC sinCcosA 2sin BcosB 所以sinAC  2sin BcosB，于是cosB  ,B  3 1 2  〔2〕由正弦定理 又由0  A  2 abc10  ，所以 sin Asin BsinC3 得  A 66 2 ，所以 3 abc  510sinA10,15]。 6  点评点评对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、 诱导公 式以及恒等变换式等实施变形，到达化简、求值域的目的。 . . 例例 4 4在 ABC中，a2b2 c2ab，假设ABC的外接圆半径为 则 ABC的面积的最大值为 2 3 3 2 ， 2 a2b2c212  ，所以解解析析又 a b  c ab及余弦定理得cosC  2ab33 222 sinC  2 2 ， 3 又由于c  2RsinC  4，所以c2 a2b22abcosC即16 ab  a2b2 2ab 所以ab 12，又由于S  absinC  时， ABC的面积取最大值4 2 点评点评 先利用余弦定理求cos A的大小， 再利用面积公式结合根本不等 式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。 例例 5 5 〔2008， 〕满足AB  2, AC  2BC的ABC 的面积的最大值是 解析解析设BC  x，则AC  2x， 根据面积公式得S ABC 2 3 1 2 2 ab  4 2，故当且仅当a  b  2 3 3  1 ABBCsin B  x 1cos2B① 2 AB2 BC2 AC24 x2 2x24 x2  由余弦定理得cosB  2ABBC4x4x 代入①式得S ABC 4 x2 2 128x2122  x 1  4x16 由三角形三边关系有 2x x  2且x2 2x，所以2 2 2  x  2 2 2， 故当x  2 3时，S ABC 取得最大值2 2。 点评点评此题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面 积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。 例例 6 6角 A,B,C 是 ABC 三个内角，a,b,c是各角的对边，向量 . . m  1cosA B,cos A B5AB9 ，n  ,cos，且mn  2828 〔1〕求tan AtanB的值。