专题58 多次使用基本不等式-妙解高考数学填选压轴题

专题58 多次使用基本不等式 【方法点拨】 多元变量的最值问题是一种常见的题型，也是高考命题的热点，其解法灵活多变，较难把握.当目标式中有的变量间彼此独立，相互间没有制约条件时，使用分离变量法，多次使用基本不等式即可.这是可多次使用基本不等式的先决条件，其目的是保证等号能同时成立. 【典型题示例】 例1 若，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 例2 已知且，则的最小值是_________. 【答案】24 【解析】由于，故考虑先求出的最小值， . 点评（1）“多元问题一般应减元”，这是解决多元问题的基本思路.本题中，虽然已知中含有三个变量，但其地位是不同的，这里有约束条件，而变量除了“”外，没有其它的任何约束条件，系“单身狗”，故应将其分为一组------------其目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式，而两次使用基本不等式的条件没有关联； （2）在求的最小值时，观察式子的结构特征，使用了“1”的代换，其目的仍在于“化齐次”. 例3 设，，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】所求变形为.三次使用基本不等式，第一次，在条件下，求最小值，需使用“1”的代换化齐次；第二次，在条件下，求最小值，为达到消的目的，需拆凑放缩（解答所给方法）或直接使用基本不等式；第三次，直接运用互倒型，使用基本不等式.三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得. 【解析】由题x4y1x＞0，y＞0， 1≥415，当且仅当x，y时，“”成立． 因为0＜t＜s，则≥，当且仅当s2t时，“”成立． 于是≥5s2≥4， 当且仅当x，y，s，t时，“”成立． 所以的最小值为4． 例4 已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，那么＋－＋的最小值为________． 【答案】＋ 【分析】a、b间有制约条件“a＋b＝2”，“c”为独立变量，故将所求变形为＋－＋＝c＋，先求出＋的最小值即可. 【解析】因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋－＝＋－＝＋≥，当且仅当b＝a时等号成立． 又因为c＞2，由不等式的性质可得＋－＋＝c＋≥c＋. 又因为c＋＝c－2＋＋≥＋，当且仅当c＝2＋时等号成立， 所以＋－＋的最小值为＋. 点评 本题中有三个变量,其中两个变量间有约束条件.先求出其最值，然后使用不等式的性质放缩，再使用一次基本不等式. 【巩固训练】 1.已知x＞0，y＞0，则的最小值为 ． 2.已知，则的最小值为 ． 3.已知，，，且，则的最小值为 ． 4.设正实数，满足，则实数的最小值为 ． 5.已知正数满足，则的最小值为 ． 6. 若，则的最小值为 ． 7.已知正数a,b满足aba2b≥1，则a12b22的最小值是 ． 【答案或提示】 1.【答案】 【解析】所求变形为 ∵y＞0 ∴，当且仅当时，等号成立， ∵x＞0， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为，当且仅当，成立． 2.【答案】 【解析】∵，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为，当且仅当，成立． 3. 【答案】 【解析】先减元＝＝ 令，， ，， 在（0,1）上递减，在（1，＋∞）上递增， 所以，＝f（1）＝－2 当y＝时，有最小值 所以的最小值为－2＋＝. 4.【答案】． 【解析】由正实数，满足，化为， 为求的最小值，将含“”项用“”的函数表示得 ∵（当且仅当，“”成立） ∴，解得． ∴实数的最小值为． 5.【答案】 【解析】将已知条件视为关于的一元二次方程，利用解方程分离元来实施减元. 由解得 ∴，当且仅当时，取等. 6. 【答案】10 【提示】，，再利用导数知识解决. 7.【答案】22122 【解析】由平方均值不等式得a12b222≥a1b22，当且仅当ab1时，“”成立 由aba2b≥1变形得2a1b≤1 所以ab≥ab2a1b32baab≥322 ，当且仅当a2b，即 a22 ，b12时，“”成立 将a22 ，b12代入得a12b2222122. 所以a12b22的最小值是22122．