专题54 利用拆凑法求不等式的最值-妙解高考数学填选压轴题

专题54 利用拆凑法求不等式的最值 【方法点拨】 1. 已知的一边是二次齐次可分解，另一边是常数，可考虑换元法； 2. 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形”，其目的在于一次使用基本不等式，能实现约分或倍数关系. 【典型题示例】 例1 若实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为，， ，设，， 故原问题可转化为“已知，求的最大值”． 又因为， 所以的最大值为，当且仅当时取等号． 故答案为． 例2 已知，则的最大值是________ 【答案】 【分析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为均含，故考虑将分母中的拆分与搭配，即，而，所以. 点评 本题在拆分时还有一个细节，因为分子的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中也要相同，从而在拆分的时候要平均地进行拆分（因为系数也相同）．所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的． 例3 若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________． 【分析】 思路1注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．本题中可直接由已知解得y，代人所求消去y；也可将直接使用“1”的代换，将所求转化为关于x，y的二次齐次分式. 思路2由所求的结论为x2＋y2，想到将条件应用基本不等式构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来即可． 【解析一】从结论出发，注意到已知中不含“y2”项，故拆“x2”项的系数 设x2＋y2tx2 1－tx2＋y2tx2 [1－tx2＋y2]≥tx2 21−t xy0t1 ※ 则t21−t12，解之得t−152 代人※得x2＋y2≥−152x2 2xy −152 ∴x2＋y2的最小值是−152． 【解析二】从已知出发，注意到结论中不含“xy”项，故拆“xy” 项的系数 设x2＋2xy＝x2＋2tx1t y≤x2＋[tx21t y 2] 1t2x2 1t2y 2 则1t2 1t211下略. 【巩固训练】 1.已知，则的最小值为 ． 2.已知正实数x，y满足x2＋xy－2y2＝1，则5x－2y的最小值为________． 3.已知，则的最小值为 . 4.当是正实数时,的最大值是 ． 【答案与提示】 1,【答案】4 【解析】注意到分母中因式均含c，故需拆分子含“c2” 项的系数 设a2b2c2a2tc2[b21−tc2≥2tac21−tbc 故t1−t12，解之得t55，所以a2b2c2≥255ac2bc 当且仅当a215c2，b245c2，即a255c，b255c时，等号成立. 则a2b2c2252bcac≥4ac2bc552bcac≥4，当且仅当2bcac5时，等号成立. 2.【答案】4 【解析】将已知条件左边分解因式得x2＋xy－2y2 x－y x2y1 因为x，y是正实数，且 x－y x2y10，所以x－y 0 ， x2y0 设5x－2ya x－yb x2y，则a4，b 1，所以5x－2y4 x－y x2y 由基本不等式得. 3.【答案】 【解析一】. 【解析二】，设，. 则满足等式的x,y存在，去分母后配方得 ，故，解得. 4.【答案】 【解法一】 【解法二】设 所以,即 故,解之得. 【解法三】令 , .