专题59 二元权方和不等式-妙解高考数学填选压轴题

专题59 二元权方和不等式 【方法点拨】 已知，则有（当且仅当时，等号成立）. 说明 1.上式其实即为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其实质就是“1”的代换. 2. 设，实数，则，其中等号当且仅当时成立.称之为权方和不等式. 我们称为该不等式的权，权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数高1次. 【典型题示例】 例1 （2022江苏金陵中学网课质检卷13）已知，且满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由知，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了. 【解析】（取等条件略）. 例2 已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由知，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了. 【解析】（等号成立条件，略，下同）. 例3 如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点靠近 B 点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】，， . 例4 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】 当，即，． 例5 已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ． 【答案】 【解析】 当，即时，等号成立． 例5 已知x＞1，y＞1，则的最小值是 ． 【答案】8 【解析】令 当，即，两个等号同时成立． 例6 已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】 当，即，． 例7 已知，且，则的最大值与最小值之和为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知中两个式子、是“知和求和”的典型结构特征，而后者又是待求的，故可考虑换元法，设，用“1的代换”或权方和不等式，消去，化等式为不等式，从而构造出关于的一元二次不等式，求出其解集. 【解析】设（） 由权方和不等式得， 代入已知得 整理得，解之得 即，当且仅当时，即或时取等号 所以最大值与最小值之和为． 【巩固训练】 1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ． 2. 已知正数满足，则的最小值为 . 3. 已知，则的最小值为 . 4.已知正实数x，y满足xy＝xy，则的最小值是 ． 【答案与提示】 1.【答案】9 【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10， ∴，且 ∴，当且仅当时取“＝”． 2.【答案】 【解析】 当且仅当，等号成立. 3.【答案】 【解析】 当且仅当时,等号成立. 4.【答案】15 【解析】xy＝xy可化为，