专题56 （一元二次）不等式整数解的个数-妙解高考数学填选压轴题

专题56 （一元二次）不等式整数解的个数 【方法点拨】 不等式（一般是一元二次不等式）的整数解的个数问题，一般采用“分离函数”的方法转化为两函数图象间的位置关系较简单，分离函数的的一般策略是“一动一静，一直一曲，动直定曲”. 【典型题示例】 例1 若关于的不等式的解集中整数恰有3个，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析一】原不等式转化为， 则，即 而的解为， 由得，则， 解之得. 【解析二】易知，则原不等式可化为， 令， 问题转化为两函数、图象问题，当的图象在的图象的下方时的横坐标为整数点有且仅有三个，如下图 则，，解之得 故实数的取值范围是. . 【解析三】仿解法二，易知，则原不等式可化为， 令 ，，下同解法二利用图象 则，即，解之得 故实数的取值范围是. 点评 解法一是直接利用“数”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为对应的一元二次方程的解之间恰有三个整数，先将其中一个根的范围进行缩定，然后推测其另一个根的范围，利用之布列不等式求解.解法难度较大，不建议使用. 而解法二、三，其关键是利用“形”解决，即将一元二次不等式解集中整数恰有3个问题，转化为满足不等关系的函数图象间的横坐标恰有三个整数，从两种解法可以看出，解法三更简单，可谓实现“秒杀”，这对学生的转化能力提出更高的要求.该方法的重中之重在于“分离函数”的能力，一般遵循“一动一静，一直一曲，动直定曲”的原则进行. 例2 已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为，，其中.若在区间内存在唯一整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，不难得出是方程的两个根，分离函数，问题转化为两函数的交点横坐标间存在唯一整数，利用“形”，易知该整数为1，故只需，解之得. 【巩固训练】 1.（多选题）若关于的不等式组的整数解的集合为，则整数k的值可以是_________. A.－3； B. 0； C. 1； D. 2 . 2.若关于的不等式的解集中至多包含2个整数，则实数的取值范围是_________. A.－3,5； B. －3,2； C. [－3,5]； D. [－2,4] . 3.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.设0＜b＜1a,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则（ ） A． B． C． D． 5.已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是_________. 6. 若关于x 的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是 . 7. 若关于的不等式只有两个整数解1和2，则实数的值是_______． 【答案与提示】 1.【答案】ABC 【提示】由得，，故，即. 2.【答案】C 【提示】由结合数轴立得. 3.【答案】B． 【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，选B. 4.【答案】C 【解析】由题得不等式，设，，利用函数图象转化为其在点处的函数值大小关系. 5.【答案】 6.【答案】 【解析】分离变量，不等式x2-ax2a0可转化为x2a（x-2），构造函数fxx2，gx a（x-2）. 如图一，当a0，利用导数易求出切点P（4,16），欲使不等式x2-ax2a0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数4，则另一解必为3或5，比较过这两点的直线的斜率，可得；如图二，当a0，欲使不等式x2-ax2a0的解集中恰有两个整数，其解集中必要整数0，则另一解必为1或-1，比较过这两点的直线的斜率，可得； 综上可得，实数a的取值范围是或. 2 x y O 图二 2 x y O P 图一 6.【答案】 【提示】由得，设，故，解得. 7.【答案】0 【分析】先解出不等式，然后根据整数解确定的值． 【解析】原不等式化为，所以， 因为整数中只有1，2是不等式的解，0和3都是不是解，则，所以． 时，不等式的解为满足题意． 故答案为0．