挑战中考数学压轴题：因动点产生的面积问题压轴题综合能力提升专题训练共8

因动点产生的面积问题因动点产生的面积问题 例例 1 1如图 1，边长为 8 的正方形 ABCD 的两边 在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A， 点 P 是抛物线上 A、 C 两点间的一个动点 （含端 点） ，过点 P 作 PF⊥BC 于点 F．点 D、E 的坐 标分别为0, 6、－4, 0，联结 PD、PE、DE． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P 的位置发现当点 P 与 点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值．进 而猜想对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定 值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论若将“使 △PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点” ， 则存在多个“好点” ，且使△PDE 的周长最小的 点 P 也是一个“好点” ． 请直接写出所有“好点”的个数，并求出 △PDE 周长最小时“好点”的坐标． 思路点拨思路点拨 1．第（2）题通过计算进行说理．设点 P 的坐标， 用两点间的距离公式表示 PD、 PF 的长． 2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE 的周长最小值转化为求 PE＋PF 的最小值． 满分解答满分解答 1）抛物线的解析式为 y   1 x2 （ 8 8 ． （2）小明的判断正确，对于任意一点 P， PD－PF＝2．说理如下 P 的坐标为 x, 1 x2 设点 8 8 ，那么PF＝yF 1 －y x2 P＝ 8 ． 而 FD2＝ x2 1 x2862 x21 8 x222 1 8 x222 8 ， 1 所以 FD＝8 x22 ． 因此 PD－PF＝2 为定值． （3） “好点”共有 11 个． 在△PDE 中，DE 为定值，因此周长的最小 值取决于 FD＋PE 的最小值． 而 PD＋PE＝PF＋2＋PE＝PF＋PE＋2， 因此当 P、E、F 三点共线时，△PDE 的周长最 小（如图 2） ． 此时 EF⊥x 轴，点 P 的横坐标为－4． 所以△PDE 周长最小时， “好点”P 的坐标 为－4, 6． 考点伸展考点伸展 第（3）题的 11 个“好点”是这样求的 如图 3，联结 OP，那么 S △PDE＝S△POD＋S△ POE－S△DOE． 1 因为 S ODxP  3 △POD＝ 2 x ，S △POE＝ 1 2 OE y   1 P 4 x216 ，S △DOE＝12，所以 S 3x 1 x21612 1 x23x4 △PDE＝ 4 ＝ 4 ＝  1 4 x6213 ． 因此 S 是 x 的二次函数，抛物线的开口向 下，对称轴为直线 x＝－6． 如图 4，当－8≤x≤0 时，4≤S≤13．所以 面积的值为整数的个数为 10． 当 S＝12 时，方程  1 4 x621312 的两 个解－8, －4 都在－8≤x≤0 范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好 点”P 共有 11 个． 例例 2 2、、如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ax2＋bx－3（a≠0）与 x 轴交于 A－2, 0、 B4, 0两点，与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P 从点 A 出发，在线段AB 上以每 秒 3 个单位长度的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长 度的速度向点 C 运动．其中一个点到达终点时， 另一个点也停止运动．当△PBQ 存在时，求运 动多少秒时△PBQ 的面积最大，最大面积是多 少 （3）当△PBQ 的面积最大时，在 BC 下方 的抛物线上存在点 K，使 S △CBK∶S△PBQ＝5∶2， 求点 K 的坐标． 思路点拨 1． △PBQ 的面积可以表示为 t 的二次函数， 求二次函数的最小值． 2．△PBQ 与△PBC 是同高三角形，△PBC 与△CBK 是同底三角形， 把△CBK 与△PBQ 的 比转化为△CBK 与△PBC 的比． 满分解答 （1） 因为抛物线与 x 轴交于 A－2, 0、 B4, 0两点，所以 y＝ax＋2x－4． 3 所以－8a＝－3．解得 a  8． 所以抛物线的解析式为 y  3 8 x  2x 4  33 8 x2 4 x 3 ． （2）如图 2，过点 Q 作 QH⊥x 轴，垂足为 H． 在 Rt△BCO 中，OB＝4，OC＝3，所以 BC 3 ＝5，sinB＝5． 在 Rt△BQH 中， BQ＝t， 所以 QH＝BQsinB 3 ＝5t． 所以 S △PBQ＝ 11 2 BPQH  2 63t 3 5 t   9 10 t 12 9 10． 因为 0≤t≤2，所以当 t＝1 时，△PBQ 的 9 面积最大，最大面积是10。 （3）当△PBQ 的面积最大时，t＝1，此时 P 是 AB 的中点，P1, 0，BQ＝1。 如图 3，因为△PBC 与△PBQ 是同高三角 形，S △PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。 当 S △CBK∶S△PBQ＝5∶2 时，S△PBC∶S△CBK ＝2∶1。 因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以 对应高的比为 2∶1。 如图 4， 过 x 轴上的点 D 画 CB 的平行线交 抛物线于 K，那么 PB∶DB＝2∶1。 因为点 K 在 BC 的下方，所以点 D 在点 B 的右侧，点 D 的坐标为 11 2 ,0 ． 过点 K 作 KE⊥x 轴于 E．设点 K 的坐标为 x, 3 8 x  2x 4 ． 3 x KECO 8  2x 4 9  3 4 由DE  BO，得2  x ．整理， 得 x2－4x＋3＝0． 解得 x＝1，或 x＝3．所以点 K 的坐标为 1, 27 8 15 或 3, 8 ． 考点伸展 第（3）题也可以这样思考 9 由 S △CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝ 10，得 S 9 △CBK＝ 4． 如图 5， 过点 K 作 x 轴的垂线交 BC 于 F． 设 点 K 的坐标为 x, 3 8 x2 3 4 x 3 ． 由于点 F 在直线 BC y  3 4 x3 上．所以点 F 的坐标为 x, 3 4 x 3 ． 所以 KF＝ 33333 4 x 38x2 4 x 3  8 x2 2 x ． △CBK 被 KF 分割为△CKF 和△BKF，他 们的高的和为 OB＝4． 1 所以 S 4 3 x2 3 x  9 △CBK＝ 2824．解得x＝ 1，或 x＝3． 1 2 例例 3 3、、 如图 1， 已知抛物线 y  2 x bxc （b、 c 是常数，且c＜0）与x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C， 点 A 的坐标为－1,0． （1）b＝______，点B 的横坐标为_______ （上述结果均用含 c 的代数式表示） ； （2）连结B