小学经典五大平面图形面积

平面图形面积问题平面图形面积问题 一、等积变换模型一、等积变换模型 ①等底等高的两个三角形面积相等；等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； AB S1 a S2 bCD 如左图如左图S 1 S 2  ab ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S △ACD  S △BCD ；； 反之，如果反之，如果S △ACD  S △BCD ，则可知直线，则可知直线AB平行于平行于CD．． ④正方形的面积等于对角线长度平方的一半；④正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角相等角或互补角 两夹边的乘积之比两夹边的乘积之比 如如图图在在△ABC中中，，D,E分分别别是是AB,AC上上的的点点如如图图⑴⑴（（或或D在在BA的的延延长长线线上上，，E在在AC上上）） ，，则则 S △ABC S △ADE  AB ACAD AE D A A D E E B C BC 图⑴图⑴图⑵图⑵ 推理过程连接推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可，再利用等积变换模型即可 三、蝴蝶定理模型三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系任意四边形中的比例关系 “蝴蝶定理”“蝴蝶定理” D A S 2 B S 1 O S 3 ①①S 1 S 2  S 4 S 3 或者或者S 1 S 3  S 2 S 4 ②②AOOC S 1  S 2 S 4  S 3  S 4 C 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形 的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系梯形中比例关系 “梯形蝴蝶定理”“梯形蝴蝶定理” a AD S 1 S 2 S 4 O S 3 B b C ①①S 1 S 3  a2b2 ②②S 1 S 3 S 2 S 4  a2b2abab；； ③梯形③梯形S的对应份数为的对应份数为a  b．． 四、相似模型四、相似模型 相似三角形性质相似三角形性质 2 A D B F G E C （金字塔模型）（金字塔模型） E A FD B ①① GC （沙漏模型）（沙漏模型） ADAEDEAF ；； ABACBCAG ②②S △ADES△ABC  AF2 AG2．． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似 ，， 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下与相似三角形相关的常用的性质及定理如下 ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 五、燕尾定理模型五、燕尾定理模型 A S S△ △ABG ABGS S△ △AGC AGC S S△ △BGE BGES S△ △EGC EGC BEBEECEC；； FS S△ △BGA BGAS S△ △BGC BGC S S△ △AGF AGFS S△ △FGC FGC AFAFFCFC；； G D S S△ △AGC AGCS S△ △BCG BCG S S△ △ADG ADGS S△ △DGB DGB ADADDBDB；； CBE 【习题精讲】【习题精讲】 【例【例 1 1】】 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 【例【例 2 2】】 （（如右图，已知在△ABC 中，BE3AE，CD2AD．若△ADE 的面积为 1 平方厘米．求三角形 ABC 的 面积． 【例【例 3 3】】 如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H 为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积． A E B H D G F C 【例【例 4 4】】如图，在三角形 ABC 中， ，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE 1 AB,已知四边形 EDCA 的 3 面积是 35，求三角形 ABC 的面积. 【例【例 5 5】】 如右图，AD  DB，AE  EF  FC， 已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ABC的面积是平 方厘米． B D A EF C 【举一反三】【举一反三】如右图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BC 的三等分点，且 SABCD54 平方厘 米，求 S△BEF． 【例【例 6 6】】 图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问阴影部分的面积是多少平方厘米 【例【例 7 7】】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD AB  25，AE AC  47，S △ADE 16平 方厘米，求△ABC的面积． A D E B C 【举一反三】【举一反三】 如图，三角形ABC中，AB是AD的 5 倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形ADE的面积等于 1，那么三角形ABC 的面积是多少 A D E CB 【例【例 8 8】】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB AD 5 2，AEEC 3 2，S △ADE 12平方厘米， 求△ABC的面积． D A E BC 【例【例 9 9】】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为 AB 的中点， AF  2CF，三角形 AFE图中阴影部分 的面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米 D F AB C E 【例【例 1010】】已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD  2BD,CF  3AF，求△ABC的面积． A F D B E C 11 【例【例 1111】】 如图所示， 正方形ABCD边长为 6 厘米，AE AC，三角形DEF的面积为_______CF BC． 33 平方厘米． AD E B F C 【例【例 1212】】如图，在△ABC 中，延长AB至D，使BD  AB，延长BC至E，使CE 