尖子生培优训练外接球与内切球含答案

简单几何体的外接球与内切球问题简单几何体的外接球与内切球问题 定义定义 1 1若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接 多面体，这个球是这个多面体的外接球。多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义定义 2 2若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切则称这个多面体是这个球的外切 多面体，这个球是这个多面体的内切球。多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4 4、基本方法构造三角形利用相似比和勾股定理。、基本方法构造三角形利用相似比和勾股定理。 5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、一、直棱柱的外接球直棱柱的外接球 1 1、、 长方体的外接球长方体的外接球 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c，，则体对角线长为则体对角线长为l a2b2c2，，几几 a2b2c2 何体的外接球直径何体的外接球直径2R为体对角线长为体对角线长l即即R  2 2 2、、 正方体的外接球正方体的外接球 正方体的棱长为正方体的棱长为a，则正方体的体对角线为，则正方体的体对角线为3a，其外接球的直径，其外接球的直径2R为为3a。。 3 3、、 直棱柱的外接球直棱柱的外接球 方法找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。方法找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例例 1 1、、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 9 且该六棱柱的体积为且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 4/3 4/3π π . . 8 例例 2 2、、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 4，体积为，体积为 1616，则这个球的表面积是，则这个球的表面积是 c c A.A. 16 B. B.20 C. C.24 D. D.32  例例 3 3 、、 在在 直直 三三 棱棱 柱柱ABC  A 1B1C1 中中 ，，AB  4, AC  6, A , AA 1  4, , 则则 直直 三三 棱棱 柱柱 3 ABC  A 1B1C1的外接球的表面积 的外接球的表面积_____160/3_____160/3π π________ ________。。 二、二、棱锥的外接球棱锥的外接球 1 1、、 正棱锥的外接球正棱锥的外接球 方法球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的方法球心在正棱锥的高线上，根据球心到各个顶点的距离是球半径，列出关于半径的 方程。方程。 例例 4 4、正四棱锥、正四棱锥S  ABCD的底面边长和各侧棱长都为的底面边长和各侧棱长都为2，点，点S、A、B、C、D都在同一都在同一 球面上，则此球的体积为球面上，则此球的体积为 4/3 4/3π π . . 例例 5 5、若正四面体的棱长为、若正四面体的棱长为 4 4，则正四面体的外接球的表面积为，则正四面体的外接球的表面积为____24____24π π_______ _______。。 例例 6 6、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的的球面上，其中底面的三个顶点在该球的 一个大圆上，则该正三棱锥的体积是一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 （（C C）） （（A A）） 3333 3 B B C C D D 34124 2 2、、 补体方法的应用补体方法的应用 （（1 1）） 、正四面体（、正四面体（2 2）） 、三条侧棱两两垂直的三棱锥、三条侧棱两两垂直的三棱锥 （（3 3）） 、四个面均为直角三角形的三棱锥、四个面均为直角三角形的三棱锥 例例 7 7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 6 6cm2、、4 4cm2和和 3 3cm2，那么它，那么它 的外接球的体积是的外接球的体积是29* /6 。。 PB  5，，例例 8 8、、 已知三棱锥的四个顶点都在球已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，的球面上，AB  BC且且PA  7，，PC 51，， AC 10, ,求球求球O的体积。的体积。500/3500/3 例例 9 9、在三棱锥、在三棱锥A BCD中，中，AB  平面BCD,CD  BC, ,AB  3，BC  4，CD  5 则三棱锥则三棱锥A BCD外接球的表面积外接球的表面积___50___50______________。。 例例 1010、、如图为一个几何体的三视图， 如图为一个几何体的三视图， 则该几何体的外接球的表面积为则该几何体的外接球的表面积为 C C A. 4A. 4ππB. 8B. 8ππC. 12C. 12ππD. 16D. 16ππ 三、三、圆柱、圆锥的外接球圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。旋转体的外接球，可以通过研究轴截面求球的半径。 例例 1111、圆柱的底面半径为、圆柱的底面半径为 4 4，母线为，母线为 8 8，求该圆柱的外接球的半径。，求该圆柱的外接球的半径。4 42 例例 1212、圆锥的底面半径为、圆锥的底面半径为 2 2，母线长为，母线长为 4 4，求该圆锥的外接球的半径。，求该圆锥的外接球的半径。 4 3 3 四、四、正方体的内切球正方体的内切球 设正方体的棱长为设正方体的棱长为a，求（，求（1 1）内切球半径；（）内切球半径；（2 2）与棱相切的球半径。（）与棱相切的球半径。（1 1）截面图为正方形）截面图为正方形EFGH a 的内切圆，得的内切圆，得R ；（；（2 2）与正方体各棱相切的球球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，）与正方体各棱相切的球球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点， 2 作截面图，圆作截面图，圆O为正方形为正方形EFGH的外接圆，易得的外接圆，易得R  2 a。 。 2 图 1图 2 五、五、棱锥的内切球（分割法）棱锥的内切球（分割法） 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线