相似三角形最全讲义

相似三角形基本知识相似三角形基本知识 知识点一放缩与相似形知识点一放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形相似的图形，或者就说是相似性相似性。 注意注意⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得 到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形． 3.相似多边形的性质相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形， 那么这两个多边形的对应角相 等，对应边的长度成比例。 注意注意当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1. 知识点二比例线段有关概念及性质知识点二比例线段有关概念及性质 （（1 1）有关概念）有关概念 1、比 比选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段 am  bn）的比是 ab＝mn（或 2、比的前项，比的后项比的前项，比的后项两条线段的比 ab 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 说明求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 ac  bd3、比例比例两个比相等的式子叫做比例，如 ac  4、比例外项比例外项在比例bd（或 ab＝cd）中 a、d 叫做比例外项。 ac  5、比例内项比例内项在比例bd（或 ab＝cd）中 b、c 叫做比例内项。 ac  6、第四比例项第四比例项在比例b d（或 ab＝cd）中，d 叫 a、b、c 的第四比例项。 ab  ba（或 ab＝bc 时，我们把 b7、比例中项比例中项如果比例中两个比例内项相等，即比例为 叫做 a 和 d 的比例中项。 8.比例线段比例线段对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即 ac ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线（或 abcd） bd 段。 （注意在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） 单位不统一应先化成同一单位） （（2 2）比例性质）比例性质 ac  ad  bc bd 1.1.基本性质基本性质 （两外项的积等于两内项积） acbd  ac 把比的前项、后项交换2.2.反比性质反比性质 bd 3.更比性质更比性质交换比例的内项或外项 a b 交换内项 c  d ，  ac d c ， 交换外项 bdba  db 同时交换内外项  c  a ．  4.4.合比性质合比性质 aca bc  d  bdbd （分子加（减）分母,分母不变） ． 注意注意实际上，比例的合比性质可扩展为比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 bad c   ac  a c ．发生同样和差变化比例仍成立．如  bd a b  c d  a bc  d 5. 5.等比性质等比性质 （（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 a  c  e  maacem  ．  b  d  f   n  0，那么 b  d  f   nbbdfn 注意注意1此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． 2应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． 3可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立． 知识点三黄金分割知识点三黄金分割 1）定义定义 在线段 AB 上， 点 C 把线段 AB 分成两条线段AC 和 BC（AC＞BC）， 如果 ACBC ， ABAC 即 AC2ABBC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割 点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。其中AC  5 1 AB≈0.618AB 。 2 2 2）黄金分割的几何作图）黄金分割的几何作图已知线段 AB.求作点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点. 作法①过点 B 作 BD⊥AB，使 ②连结 AD，在 DA 上截取 DEDB； ； ③在 AB 上截取 ACAE，则点 C 就是所求作的线段 AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为 .（只要求记住） 3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。 知识点四平行线分线段成比例定理知识点四平行线分线段成比例定理 一一 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 1.1.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比 对应线段成比. 例.已知 l1∥l2∥l3, A D l 1 B E l 2 C F l 3 ABDEABDE 或等.可得 BCEFACDF 2.2.推论推论平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得的对应线段成比 例. （1）是“A”字型 （2）是“8”字型 经常考， 关键在于找 由 DE∥BC 可得 泛,条件是平行. ADAEBDECADAE .此推论较原定理应用更加广 或或 DBECADEAABAC 3.3.推论的逆定理推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段 成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 即利用比例式证平行线利用比例式证平行线 4.4.定理定理平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原 ．．．．．．． 三角形三边对应成比例. ．．．．． 5.5.平行线等分线段定理平行线等分线段定理三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相 等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 ★★★三角形一边的平行线性质定理★★★三角形一边的平行线性质定理 定理平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。定理平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。 几何语言几何语言∵ ∵ △ △ABEABE 中中 BDBD∥ ∥CECE 上上ABAD  下下DE 简记简记∴ ∴ BC 上上下下ABADBCDE  AE 和和 ACAE 推广类似地还可以得到推广类似地还可以得到 全全 和和 全全 归纳归纳 AC A A E D BC A DE D BC E BC ★★★三角形一边的平行线性质定理推论★★★三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的三角形的三边与原三角形的三边对截得的三角形的三边与原三角形的三边对 应成比例应成比例. . ★★★三角形一边的平行线的判定定理★★★三角形一边的平行线的判定定理 三角形一边平行线判定定理三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行