相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

第 2 讲相似三角形 6 大证明技巧 模块一相似三角形证明方法之 反 A A 型与反 X X 型 回顾相似三角形的判定方法总结 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 2.三边成比例的两个三角形相似. （SSS） . SAS3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4.两角分别相等的两个三角形相似.AA HL . 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 模型一反A A 型 如图，已知△ ABC，∠ADE∠C，若连CD、BE，进而能证明△ ACD∽△ ABESAS 试一试写出具体证明过程 A E D C B 模型二反X X 型 如图，已知角∠BAO∠CDO，若连AD，BC，进而能证明△AOD∽△ BOC. 试一试写出具体证明过程 B A O DC 应用练习 1.已知 △ABC 中，∠ AEF ∠ACB ，求证（1） AEAB ∠EBO ∠FCO（3）∠ OEF∠OBC，∠ OFE∠OCB A AFAC （2）∠ BEO∠CFO， E F O B C 13 6.已知在 △ ABC 中 ,∠ABC90 ,AB3,BC4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动 点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段AB 如图 1 或线段AB 的延长线 如 图 2 于点 P. 1当点 P 在线段AB 上时 , 求证 △ APQ ∽ △ ABC ； 2当 △ PQB 为等腰三角形时，求AP 的长。 模块一相似三角形证明方法之 射影定理与 类射影 模型三射影定理 如图已知△ ABC，∠ ACB90， CH⊥AB 于 H，求证AC2 2 AHAB ，2 BCBHBA ， ， H CH A HB，试一试写出具体证明过程 C AHB 模型四 类射影 如图，已知AB2ACAD ，求证 BD BC AB ，试一试写出具体证明过程 AC A D CB 14 应用练习 7.如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。求 证 8.如图，在△ABC中， ∠AEF∠C ADBC于D，DEAB于E， 15 DFAC于F，连EF，求证 A E F B DC 模块一 模型五 相似三角形证明方法之 一线三等角 一线三等角 如图，已知∠B∠ C∠EDF，则△ BDE∽△ CFD （AA ） ，试一试写出具体证明过程 E A E F A E A F BCB D 图 1D 图 2 C BC D 图 3 应用练习 9.如图， △ABC 和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠ 10.的顶点 BAC∠EDF90 ， △ DEF E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将 △DEF绕点 E 旋转，旋转过程中， 线段 DE 与线段AB 相交于点 P，线段EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1） 如图① ，当点 Q 在线段AC 上，且 APAQ 时，求证 △BPE≌ △CQE； （2） （2）如图② ，当点 Q 在线段CA 的延长线上时，求证 △BPE∽△CEQ； 并求当 BPa，CQ9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示） 16 11.△ ABC 中，ABAC ，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作∠ MDN ∠B （1）如图（ 1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅 助线，写出图中所有与△ ADE 相似的三角形． （2）如图（ 2），将∠ MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交 线段 AC，AB 于 E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若 ABAC10 ，BC12 ，当△DEF 的面积等于 △ ABC 的面积的时，求线段 EF 的长． 12.如图，点 在线段上，点、在同侧，，， 。 （1）求证 （2）若 直线 ， 。 ，点为线段上的动点，连接，作，交 于点。 的值。 的中点所经过的路径 （线段） ①当点与、 两点不重合时，求 ②当点从点运动到的中点时， 求线段 长。（直接写出结果，不必写出解答过程） 17 模块二比例式的证明方法之 三点定型 通过前面的学习，我们知道， 比例线段的证明， 离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型）， 也离不开上述的6 种“相似模型” .但是“模型” 只是工具， 怎样选择工具， 怎样使用工具， 怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让 复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧 技巧一三点定型法 技巧二等线段代换 技巧三等比代换 技巧四等积代换 技巧五证等量先证等比 技巧六几何计算 技巧一三点定型 横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三 个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。 13.如图， 在 Rt△ ABC 中， AD 是斜边 BC 上的高，ABC 的平分线BE交AC于E，交 AD 于 BF F．求证 BE AB ． BC A E F B D C . 14.如图，平行四边形ABCD 中，E是AB延长线上的一点， DE 交 BC 于F，求证DC AE ． CF AD D F AB E C 15.如图，△ABC 中，BAC90 ，M为 BC 的中点， DM 于E．求证AM2 BC 交 CA 的延长线于D，交AB D MD ME A E B M C 模块二比例式的证明方法之 等线段代换 若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等量代换替代其中线段，然后再 用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有 2 等线段代换，等比代换，等积代换 【例 1】如图，在 △ABC，AD 平分∠ BAC，AD 的垂直平分线交AD 于 E，交 BC 的延长线于 F，求证 FDFB FC A 证明 连接 AF, 是 , 是 AD 的垂直平分线, BDCF 的平分线 , E 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 等边对等角 , , , , , 又, , 19 【例 2】如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE 交 AD 于F， 【例 3】 【例 4】 ECAD ．求证AC BECE AD ． C D F E AB 如图， △ACB 为等腰直角三角形，ABAC，∠ BAC90 ，∠ DAE45，求证 2 ABBE CD A BDEC 如图， △ ABC 中， ABAC ， AD 是中线，P是 AD 上一点，过C 作 CF ∥ AB ， 延长BP交AC于E，交 CF 于F．求证BP2PE PF． A F E P B D C 模块二比例式的证明方法之 等比代换 【例 5】如图，平行四边形ABCD中，过B作直线AC、 AD 于O，E、交CD的延长线 2 于F，求证 OBOE OF ． 【解题方法提示】 2 要证 OB OFOE，即证，接下来你有思路了吗 因为 AB∥CE，由平行线分线段成比例定理，可得