相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(学生版),推荐文档

Well-known Education 专注于中小学个性化教育 相似三角形的性质及判定相似三角形的性质及判定 中考要求中考要求 板块板块 相似三角形 A 级要求 了解相似三角形 考试要求考试要求 B 级要求 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌 握相关的模型 C 级要求 会运用相似三角形相关的 知识解决有关问题 知识点睛知识点睛 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称 为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，△ABC与△ABC相似，记作△ABC∽△ABC，符号∽读作“相似于”． A A BCBC 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是 1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不 一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，△ABC与△ABC相似，则有A A，B  B，C  C． 华侨城校区华侨城中新街樱花阁 103（何香凝美术馆天桥对面）电话26605211 Well-known Education 专注于中小学个性化教育 A A BCBC 2．相似三角形的对应边成比例 △ABC与△ABC相似，则有 ABBCAC ． k（k为相似比）    A BB CA C 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图 1，△ABC与△ABC相似，AM是△ABC中BC边上的中线，AM是△ABC中 BC 边上的中线， ABBCACAM 则有（k为相似比） ． k  ABBC AC AM A A B M C B M C 图 1 如图 2，△ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线， AH 是△ABC中 BC 边上的高线， ABBCACAH 则有（k为相似比） ． k  ABBC AC AH A A B H C BHC 图 2 如图 3，△ABC与△ABC相似，AD是△ABC中BAC的角平分线， AD 是△ABC中BAC的角平 ABBCACAD 分线，则有（k为相似比） ． k  ABBC AC AD A A BDC B D C 图 3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图 4，△ABC与△ABC相似，则有 ABBCAC ．应用比例的等比性质有 k（k为相似比）    A BB CA C 华侨城校区华侨城中新街樱花阁 103（何香凝美术馆天桥对面）电话26605211 Well-known Education 专注于中小学个性化教育 ABBCACAB  BC  AC  k． ABBC ACAB BC AC A A BCBC 图 4 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图 5，△ABC与△ABC相似，AH是△ABC中BC边上的高线， AH 是△ABC中 BC 边上的高线， 1 BC AH S △ABC BCAHABBCACAH 2 则有（k为相似比） ．进而可得 k2． k  S △ABC 1 BC AH BC AH ABBC AC AH 2 A A B H C BHC 图 5 四、相似三角形的判定 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成两 角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成三 边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似． 6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式 证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法 ABBC ，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A，B，C恰为△ABC的顶 BEBF 点； 分母的两条线段是BE和BF， 三个字母B，E，F恰为△BEF的三个顶点． 因此只需证△ABC∽△EBF． 欲证 2．纵向定型法 华侨城校区华侨城中新街樱花阁 103（何香凝美术馆天桥对面）电话26605211 Well-known Education 专注于中小学个性化教育 ABDE ，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；右边的 BCEF 比两条线段是DE和EF中的三个字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF． 欲证 3．中间比法 由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况， 此时可考虑运用等线， 等比或等积进 行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中 间比． 比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。 这类问题的典型模型是射影定理模型， 模型的特 征和结论要熟练掌握和透彻理解． 倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进 行等量代换，进而证明之． 复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换） ，等比代换，等积代换，将复合式 转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明． 六、相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中， 常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形， 同时再结合等量代换得到 要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等． BDAB 如图AD平分BAC交BC于D，求证． DCAC E 证法一过C作CE∥AD，交BA的延长线于E． A ∴1E，2  3． ∵12，∴3 E．∴AC  AE． 1 2 3 BDBABA ∵AD∥CE，∴． DCBEAC BCD 点评做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型． A 证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E． ∴12E，∴AB BE． 1 2 BDBE