立体几何基础题题库-

立体几何基础题题库立体几何基础题题库 351-400351-400（有详细答案）（有详细答案） 351.351. （1）已知直线 a∥平面，a⊥平面．求证⊥． （2）已知三个平面、、，∥，⊥．求证⊥． 解析解析（1）如图答 9-41，∵a∥，∴在上任取一点Aa，过 a 与 A 确定平面， 设  a ，则a//a．∵a⊥，∴a ．∵ a ，∴⊥． （2）在上任取 P，设 l1，在内作PQ  l1，∵⊥，∴PQ⊥．∵ ∥，∴PQ⊥，∵PQ，∴⊥． 352.352. 在正方体ABCD A 1B1C1D1 中，求二面角A 1  BD 1 C 1 的大小． 解析解析如图 9-43，在平面D 1C1B 内作C1E  BD 1 ，交BD 1 于 E．连结A 1E ，设正方体棱长 为 a，在△A 1BD1 和△C1BD 1 中，A 1D1  C 1D1  a，A 1B  C1B  2a，BD 1  BD 1 3a，∴ △A 1BD1 ≌△C1BD 1 ，∵ C 1E  BD1 ，∴ A 1E  BD1 ，∴ A 1EC1 为 二面角A 1  BD 1 C 1 的平面角．在 Rt△BC1D 1 中，D 1C1B  90 ，∴ 11a 2a2 C 1D1 BC 1 C 1EBD1 ，∴C1E a,在△A 1EC1 中， 2233a A 1E  C1E  2  2  2   aa 2a2  3  3  21  a，A 1C1 2a，cosA 1EC1   0＜A 1EC1  ， 32 22 2aa 33 2 ＜180， A 1EC1 120 353.353. 如图 9-50，点 A 在锐二面角-MN-的棱 MN 上，在面内引射线 AP，使 AP 与 MN 所成的∠PAM 为 45，与面所成的角为 30，求二面角-MN-的大小． 解析解析如图答 9-44，取 AP 上一点 B，作 BH⊥于 H，连结 AH，则∠BAH 为射线 AP 与平 面所成的角，∴∠BAH30，再作BQ⊥MN，交MN 于 Q，连结HQ，则HQ 为 BQ 在 平面内的射影．由三垂线定理的逆定理， HQ⊥MN，∴∠BQH 为二面角-MN-的平面 角． 图答 9-44 设 BQa，在 Rt△BAQ 中，∠BQA90，∠BAM45，∴ AB 2a，在 Rt△BAH 中∠BHA90，∠BAH30，∴ BH  2 a．在 Rt△BHQ 中，∠BHQ90，BQa， 2 2 a 2BH2 BH a，sinBQH  2  ，∵∠BQH 是锐角，∴∠BQH45 2BQa2 即二面角-MN -等于 45． 354.354. 已知直线 l⊥平面α，直线 m平面β，有下面四个命题 1α∥βl⊥m 2α⊥βl∥m 3l∥mα⊥β 4l⊥mα∥β 其中正确的两个命题是 A.1与2 B.3与4 C.2与4 D.1与3 分析分析本题主要考查直线与平面、 平面和平面的位置关系， 以及空间想象能力和逻辑推理能 力. 解法一解法一在 l⊥α，mβ的前提下，当α∥β时，有l⊥β，从而 l⊥β，从而 l⊥m，得 1正确；当α⊥β时，l 垂直于α、β的交线，而m 不一定与该交线垂直，因此，l 与 m 不一定平行，故2不正确.故应排除 A、C.依题意，有两个命题正确，不可能3，4都正 确，否则连同1共有 3 个命题正确.故排除 B，得 D. 解法二解法二当断定1正确之后，根据 4 个选择项的安排，可转而检查3，由l∥m,l∥α知 m ⊥α，从而由 mα得α⊥β.即3正确.故选 D. 解法三解法三不从1检查起，而从2、3、4中任一命题检查起，如首先检查4；由 l⊥ α,m⊥β不能否定 m 是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故4是不正确的，因此可 排除 B、C.依据 A 和 D 的内容可知1必定是正确的，否则A 和 D 也都排除，以下只要对2 或3检查，只须检查一个便可以做出判断. 355.355. 一张正方形的纸 ABCD，BD 是对角线，过 AB、CD 的中点 E、F 的线段交 BD 于 O，以 EF 为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD 等于 A.120 B.150 C.135 D.90 解析解析本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。 如图，设正方形边长为 a，由 O 为正方形中心，则BO＝ 22 a,DO＝a，连 AB，因为 DA 22 AD2 AB2＝ ⊥AE，DA⊥BE，故 DA⊥面 AEB，所以 DA⊥AB，故ΔDAB 为直角三角形， BD＝ 6a2a2 AD  AE  BE ＝a a. 244 2222 2 2 2 2 6 2a a a BO  DO  BD 44 ＝又在ΔBOD 中，由余弦定理可得 cos∠BOD＝＝ 4 2BODO22 2aa 22 222 - 1 ，所以∠BOD＝120 2 评析评析本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化， 此外，还要注意 找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。 356.356.已知平面α∥平面β，B，D∈β，AB⊥CD，且 AB＝2，直线 AB 与平面α所成的角为 30，则线段 CD 的长为取值范围是 A.［1，∞］ B.1， 2 32 34 32 3 C.， D.［，∞ 3333 解析解析 本题考查直线与直线所成的角， 直线与平面所成的角的概念。 线面垂直的判定和性质， 以及空间想象能力和几何计算. 解解如图所示，过 D 作 DA′∥AB 交平面α于 A′.由α∥β，故 DA′＝AB＝2，DA′与α成 30角，由已知DC⊥AB，可得 DC⊥DA′，所以DC 在过 DC 且与 DA′垂直的平面γ内，令 ∩α＝l，在内，DC⊥l 时为最短，此时 DC＝DA′tan30＝ 选 D. 357.357.如图，四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且 AB＝ 2 32 3 .故 CD≥.∴应 33 1 CD，侧棱 PB 2 ⊥底面 ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB 的面积等于 6，若平面DPA 与平面 CPB 所成的二面角为 α，求α. 解析解析平面 DPA 与平面 CPB 有一公共点 P，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们 公共交线，DA 和 CB 的延长线的交点 E 是它们的另一公共点.由公理二，PE 就是二面角的公 共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根. 解解延长 DA 交 CB 的延长线于 E，连 PE，则 PE 就是平面 D