立体几何——二面角问题方法归纳

. 二面角的求法二面角的求法 一、一、 定义法定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上 取点，分别在两面引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例例 1 1（全国卷Ⅰ理）（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S  ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，AD  2 B的大小。 DC  SD  2，点 M 在侧棱SC 上，ABM60 （I）证明M 在侧棱SC的中点（II）求二面角S  AM 练习练习 1 1（）（）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC  60,E，F 6 ，求二面角 2 分别是BC,PC的中点.（Ⅰ）证明AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 EAFC的余弦值. 二、三垂线法二、三垂线法 三垂线定理在平面的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半 平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例例 2 2．． 卷理卷理 如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB4, BCCD2, AA 1 2, E、E 1 、F 分 别是棱 AD、AA 1、AB 的中点。 1证明直线 EE 1 //平面 FCC 1 ； 2求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 练习练习 2 2（天津）（天津）如图，在四棱锥P  D A E A E D F C B C B ABCD中，底面ABCD是矩形．  已知 AB  3, AD  2,PA  2,PD  2 2,PAB  60 ． （Ⅰ）证明AD平面PAB； （Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P  BD  A的大小． 三．补棱法三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线 （称为补棱） ，然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例例 3 3（）（）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，∠BCD＝60，E是CD的中点， P PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. D E C A B 0 练习练习 3 3 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 60 的角，侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 . . （1）求证AC1⊥BC； （2）求平面 AB1C1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（四、射影面积法（ cosq s射影 S ）） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 （cos  S 射 S 斜 ）求出二面角的大小。 例例 4 4．． （理）（理）如图，在三棱锥P ABC中，AC  BC  2，ACB  90o， PAP  BP  AB，PC  AC． （Ⅰ）求证PC  AB； （Ⅱ）求二面角B APC的大小； A C 练习练习 4 4 如图 5，E 为正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值. . B D A D A 图 B B C E C 五、向量法向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几 何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例例 4 4 （天津卷理）（天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AFABBCFE 1 AD 2 I求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；II证明平面 AMD平面 CDE； 求二面角 A-CD-E 的余弦值。 练习练习 5 5、、 （）（）如图，在直三棱柱 ABC  （Ⅰ）求证 A 1B1C1 中，平面ABC 侧面 A 1 ABB 1 . AB  BC； （Ⅱ）若直线AC与平面 A 1BC 所成的角为,二面角 A 1  BC  A的大小为 ，试判断与  的大小关系，并予以证明. . . 二面角大小的求法的归类分析二面角大小的求法的归类分析 一、定义法直接在二面角的棱上取一点（特殊点）一、定义法直接在二面角的棱上取一点（特殊点） ，分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图，分别在两个半平面作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图 形的特性；形的特性； P 例例 1 1 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PAABa，求二面角 B-PC-D 的大小。 H D A j B C L p 二、三垂线法已知二面角其中一个面一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；二、三垂线法已知二面角其中一个面一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例例 2 2 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PAABa，∠ABC30，求二面角P-BC-A 的大小。 D A HC B 三、三、 垂面法已知二面角一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，垂面法已知二面角一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知， 二面角的平面角所在的平面与棱垂直；二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例例 3 3 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PAABa，求 B-PC-D 的大小。 A j P H D B C 四、射影面积法（四、射影面积法（ cosq s射影 S ）） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 （cos  S 射 S 斜 ）求出二面角的大小，其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角； 例例 4 4 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 五、补棱法五、补棱法 对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。。 例例 5 5、、在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AB＝a，求平面 PB