圆的一般方程教案正式

4.2.14.2.1 圆的一般方程圆的一般方程 课课 授课课时授课课时 授课题目授课题目 章，节章，节 教材及参考书目教材及参考书目 题题 圆的一般方程 1 课时 课型课型 授课时长授课时长 新 45 分钟 第四章第一节 4.2.1 圆的一般方程 人教 A 版高中数学实验教科书必修 2 ●教学目的与要求●教学目的与要求 一、一、知识目标1理解记忆圆的一般方程的代数特征。 2掌握方程x2 y2 Dx  Ey  F  0表示圆的条件。 二、二、能力目标1能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。 2能应用待定系数法求圆的一般方程。 3能应用代入法求一般曲线的方程。 4培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、三、情感目标1培养学生勇于探索的精神。 2渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。 ●教学重点●教学重点 圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程 的步骤 ●教学难点●教学难点 圆的一般方程和代入法的掌握、应用 ●教学方法●教学方法 师生合作式探究诱导启发式教学 ●● 教学辅助教学辅助 多媒体教学平台 CAI 课件 ●教学过程与时间分配●教学过程与时间分配 一、复习提问，引入课题（3 分钟） 二、探索研究，讲授新课（22 分钟） 三、例题讲解，对应练习（16 分钟） 四、课堂小结，反馈回授（3 分钟） 五、分层作业，巩固提高（1 分钟） 教学基本内容教学基本内容 一、复习提问，引入课题一、复习提问，引入课题 问题问题求过三点0,0，1.1，4,2的圆的方程 设计意图设计意图 ⑴以复习回顾的形 式提出新难题， 引出 指出本节课【师生互动师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识， 新课程， 最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很 的主要内容. 小组讨 麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提 ⑵质疑提问， 提高了学生学习 问，有没有其他的解决方法呢带着这个问题我们共同研究 论， 的兴趣. 圆的一般方程。 ⑴学生动笔、思考， 【辅助手段】【辅助手段】 多媒体课件幻灯片展示问题。 老师引导、 启发， 让 二、探索研究，讲授新课二、探索研究，讲授新课 学生学会独立分析 请同学们写出圆的标准方程 问题， 解决问题， 初 x  a2 y b2 r2、圆心a，b、半径 r 步体会数学的魅力. 把圆的标准方程展开，并整理 取 D-2a E-2b Fa2b2 r2 这个方程就是圆的方程. ⑵引导学生自己探 索寻找圆的一般方 程在什么时候表示 圆，形成分类讨论、 等价转化等数学思 反过来给出一个形如x2 y2 Dx  Ey  F  0的方程，它表 示的曲线一定是圆吗 把x2 y2 Dx  Ey  F  0配方得 【师生互动】【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。 问题问题这个方程是不是表示圆 想， 培养学生思维的 多样性、 创造性， 体 验成功解决问题的 喜悦. ⑶通过对一个方程 的讨论， 得出圆的一 DE ⑴当D2 E2 4F2﹥0 时，方程表示以-，为圆心，以 般方程， 并指出不是 22 1 所有的方程都可以 D2 E24F为半径的圆. 2 表示圆。 使得学生的 认识不断加深， 同时 教学基本内容教学基本内容 ⑵当D2 E2 4F20 时，方程只有实数解x   即只表示一个点 DE ,. 22 设计意图设计意图 DE ,y   培养思维的严谨性. 22 ⑴归纳知识， 有利于 学生理清知识脉络. ⑶当D2 E2 4F2﹤0 时， 方程没有实数解， 因此它不表示任⑵强调的概念的本 何图形. 质， 让学生理解记忆 【师生互动师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师 圆的一般方程的代 生共同总结出 3 种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。 数特征. 【归纳总结归纳总结】圆的一般方程的特点圆的一般方程的特点 ⑴①x2和y2的系数相同，都等于 1。 ②没有xy这样的二次项。 ⑵圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因此只要求 出这三个系数，就能确定圆的一般方程。 ⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明 显，圆的标准方程则是几何特征明显。 ⑶深化学生对圆的 一般方程的理解. ⑴同步练习， 检测学 生的掌握情况， 及时 回授， 强化知识点的 应用. ⑵加深对所学知识 的理解应用， 使学生 【师生互动师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导， 掌握基础知识， 有利 引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。 于学生更高思维能 【辅助手段】辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示 力的培养. 三、例题讲解，对应练习三、例题讲解，对应练习 例 1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程如果是，请 求出圆的圆心及半径。 ⑴4x2 4y2 4x 12y 9  0 ⑵4x2 4y2 4x 12y 11 0 分析分析方法 1 利用配方法将其化为圆的标准形式. 方法 2 应用圆的一般方程来解，这里D-1,E3,F 9 . 4 例 2求过三点 A0,0，B1,1，C4,2的圆的方程，并求这个 圆的半径长和圆心坐标。 分析分析根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的 教学基本内容教学基本内容 设计意图设计意图 一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不 ⑴进一步熟悉圆的 妨试着先写出圆的一般方程。 一般方程. 【教师讲解教师讲解】设圆的方程为x2  y2 Dx  Ey  F  0⑵通过本题的练习， ∵A0,0，B1,1，C4,2在圆上，所以它们的坐标是方程使学生掌握待定系 的解，代入方程得到 F  0  D  E  F  2  0 即 D-8E6FO 4D  2E  F  20  0  数法求解圆的一般 方程的步骤. ⑴总结题目方法， 提 炼出解决一般问题 的方法， 形成类型题 的方法. ⑵强调方法的本质， 加深学生对方法的 理解应用. ∴所求的方程为x2 y28x  6y  0 DE r  1 D2 E2 4F2 5、4、-3 22 2 ∴圆心坐标为4,-3 或将x2 y2 Dx  Ey  F  0化为圆的标准方程 【归纳总结归纳总结】应用待定系数法的一般步骤应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。 ⑵根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组。 ⑶解出 a、b、r 或 D、E、F 并将其代入其相关方程。 例 3已知线段 AB 的端点 B 的坐标是4,3，端点 A 在圆上 x 12 y2 4运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析分析如图点 A 运动引起 M 运动，而点 A 在圆上运动点 A 的坐标满足方程x 12 y2 4，建立点 M 与点 A 的关系， 就可以建立点 M