专题01 线性回归方程（原卷版）-概率统计题型全归纳

专题1 线性回归方程 例1．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为 （次数分钟） 20 30 40 50 60 25 27.5 29 32.5 36 A．B．C．D． 例2．已知下列说法 ①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位； ②在线性回归模型中，相关指数越接近于1，则模型回归效果越好； ③两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； ⑤演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”． 其中说法错误的个数为 A．1B．2C．3D．4 例3．变量，之间的一组相关数据如表所示若，之间的线性回归方程为，则的值为 4 5 6 7 8.2 7.8 6.6 5.4 A．B．C．D． 例4．我国技术研发试验在年进行，分为关键技术试验、技术方案验证和系统验证三个阶段实施．2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来手机的实际销量，如表所示 月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月 月份编号 1 2 3 4 5 销量部 50 96 185 227 若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是 A． B．与正相关 C．与的相关系数为负数 D．12月份该手机商城的手机销量约为365部 例5．已知与之间的一组数据 0 1 2 3 3 5.5 7 已求得关于与的线性回归方程，则的值为 ． 例6．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如表所示 价格 8.5 9 11 11.5 销售量 12 6 7 5 已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的 ． 例7．已知一组数据点 用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，的平均数为1，则 ． 例8．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，，2，，，其中和分别表示第个县城的人口（单位万人）和该县年垃圾产生总量（单位吨），并计算得，，，，． （1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求关于的线性回归方程； （3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表 使用年限 台数 款式 1年 2年 3年 4年 5年 甲款 5 20 15 10 50 乙款 15 20 10 5 50 某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久 参考公式相关系数． 对于一组具有线性相关关系的数据，，2，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 例9．近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国年高铁运营里程的数据如表所示． 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 1 2 3 4 5 高铁运营里程（万千米） 1.9 2.2 2.5 2.9 3.5 （Ⅰ）求关于的线性回归方程； （Ⅱ）每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，若用年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求2023年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率． 附线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 例10．某地区2013年至2019年居民纯收入（单位千元）的部分数据如表所示 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 2018和2019年的居民纯收入（单位千元）数据采用随机抽样的方式获得，用样本的均值来代替当年的居民人均纯收入，其数据如下 2018年抽取的居民纯收入（单位千元）数据5.2 4.8 6.5 5.6 6.0 7.1 6.1 7.3 5.9 7.5 2019年抽取的居民纯收入（单位千元）数据6.2 7.8 6.6 5.8 7.1 6.8 7.2 7.9 5.9 7.7 （Ⅰ）求关于的线性回归方程； （Ⅱ）当地政府为了提高居民收入水平，现从2018和2019年居民纯收入（单位千元）高于7.0千元的样本中随机选择3人进行座谈，了解其工作行业及主要收入来源．设为选出的3人中2018年纯收入高于7.0千元的人数，求随机变量的分布列和数学期望． 附回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，． 例11．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是 ①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2020年12月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告．统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表） 月份 2020.07 2020.08 2020.09 2020.10 2020.11 月份编号 1 2 3 4 5 竞拍人数（万人） 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）由收集数据的散点图发现1可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2020年12月份参与竞拍的人数． （2）某市场调研机构对200位拟参加2020年12月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表 报价区间（万元） ， ， ， ， ， ， 频数 20 60 60 30 20 10 （ⅰ）求这200为竞拍人员报价的平均数值和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）； （ⅱ）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（ⅰ）中所求的样本平均数及估值．若2020年12月份实际发放车牌数量是3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据①回