专题01抛物线标准方程(解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 01 抛物线的标准方程 典例分析 类型一、待定系数法 第一步，做判断，根据条件判断抛物线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。 第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。 第三步，找关系，根据已知条件，建立关于的方程, 第四步，解方程，由上一步所得方程组求得出，将解代入所设方程，即得所求。 1．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上且（0为坐标原点），过点M且与抛物线相切的直线与y轴相交于点N，若，则抛物线的方程为（） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由求出点的坐标，进一步求出直线的方程，令，可求出点的坐标，得出，即可求出抛物线的方程. 【详解】由题意，，不妨设，则，化简为所以，则直线的斜率为，所以所在直线方程为，令得．则，所以所以抛物线的方程为． 2．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（） A．B． C．或D．或 【答案】C 【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8， 当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为， 可得，解得，所以抛物线方程为； 当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为， 可得，解得，所以抛物线方程为， 所以所求抛物线的方程为. 3．（多选题）设抛物线C的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（） A．B．C．D． 【答案】AC 【分析】 结合抛物线的定义求得点的坐标，将点坐标代入抛物线方程，求得，由此求得抛物线的方程. 【详解】 因为抛物线C的方程为，所以焦点，设，由抛物线的性质知，得．因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为，由已知得圆的半径也为，故该圆与y轴相切于点，故圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即， 代入抛物线方程，得，解得或．所以抛物线C的方程为或． 4．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为___________． 【答案】或 【分析】 由题意分情况可得点的坐标为，代入抛物线方程中可求出的值，从而可得抛物线的方程 【详解】抛物线的焦点为，由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点， 因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形，所以当在的右边时，点的坐标为，所以，化简得， 解得或（舍去），所以抛物线的方程为， 当在的左边时，点的坐标为，所以，化简得， 解得或，所以抛物线的方程为， 综上，所求的抛物线方程为或 5．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程 1过点； 2焦点在直线上. 【答案】1抛物线方程或，对应的准线方程分别是， . 2抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，. 【分析】 （1）设所求的抛物线方程为或，把点代入即可求得，则抛物线方程可得，根据抛物线的性质求得准线方程. （2）令，代入直线方程分别求得抛物线的焦点，进而分别求得，则抛物线的方程可得.根据抛物线的性质求得准线方程. 【解析】 1设所求的抛物线方程为或，因为过点，所以或，所以或.所以所求的抛物线方程为或，对应的准线方程分别是或. 2令得，令得，所以抛物线的焦点为或.当焦点为时，， 所以，此时抛物线方程；焦点为时，，所以，此时抛物线方程为. 所以所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，. 类型二、定义法 1．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程. 【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，故选B . 2．如图，过抛物线y2＝2pxp＞0的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（） A．y2＝9xB．y2＝6x C．y2＝3xD．y2＝x 【答案】B 【分析】 分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程． 【详解】 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x. 3．已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则抛物线C的标准方程为___________. 【答案】 【分析】由抛物线的定义，结合，得到点为线段的中点，从而求得点B的坐标，然后由点B在抛物线上求解即可. 【详解】由抛物线的定义可得，，又，所以点为线段的中点，又因为点，所以，又点B在抛物线上，所以，解得，所以抛物线C的标准方程为. 4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则此抛物线的准线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】 设点在轴下方，设点、、，由已知可得出，求出点的坐标，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，利用抛物线的定义可求得的值，即可得解. 【详解】 设点在轴下方，设点、、，易知点，由已知可得， 即，所以，解得，即点 将点的坐标代入抛物线的方程可得，则，即点， 设直线的方程为，联立，可得，， 由韦达定理可得，则，所以，，所以，， 因此，该抛物线的准线方程为。 类型三抛物线方程的应用 1．如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求. 【详解】 建立如图所示的直角坐标系 设抛物线方程为，由题意知在抛物线上，即，解得，， 当水位下降1米后，即将代入，即，解得，∴水面宽为米. 2．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（） A．1.35mB．2.05mC．2.7mD．5.4m 【答案】A 【分析】 根据题意先建立恰当的坐标系，可设出抛物线方程，