专题01求双曲线标准方程（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

双曲线必会十大基本题型讲与练 01 求双曲线的标准方程 典例分析 类型一、待定系数法 1．（多选题）过点且的双曲线的标准方程是（） A．B． C．D． 【答案】AC 【解析】 【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出. 【详解】因为，则可设双曲线方程为或，将点代入方程可得，解得，所以双曲线方程为或. 故选AC. 2．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 算出通径，然后根据三角形面积和离心率列方程组可解. 【详解】 设双曲线标准方程为令，则，得，所以， 易知，所以①， 又②，③，联立①②③求解得，所以双曲线方程为. 3．如图，已知椭圆C1和双曲线C2交于P1、P2、P3、P4四个点，F1和F2分别是C1的左右焦点，也是C2的左右焦点，并且六边形是正六边形.若椭圆C1的方程为，则双曲线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据椭圆的方程求得焦点坐标，然后根据为正六边形求得点的坐标，即点在双曲线上，然后解出方程即可 【详解】 设双曲线的方程为，根据椭圆的方程可得 又为正六边形，则点的坐标为，则点在双曲线上，可得 又，解得a24−23b223。 类型二、巧设方程法 1．已知双曲线经过点，，则其标准方程为（） A．B． C．D．或 【答案】A 【解析】 【分析】 本题已知A，B两点坐标，将其代入双曲线标准方程即可得到结果 【详解】 设双曲线方程为则，解的 所以双曲线的方程为，故选A。 2．（多选题）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（） A． B．C．D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分 和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程． 【详解】椭圆中，，焦距，双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，设双曲线的方程为，即， 当时，，解得，双曲线的方程为； 当时，，解得，双曲线的方程为； 综上，双曲线的方程可能为或． 3、焦点在坐标轴上，且经过点的双曲线标准方程为 【答案】. 【分析】设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【解析】依题意，设双曲线的方程为，于是得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 4、经过点，且与双曲线有相同的焦点的双曲线标准方程为 。 【答案】. 【解析】因为所求双曲线与双曲线有相同的焦点， 则设所求双曲线的方程为，而此双曲线过点， 于是有，解得或（舍去），所以所求双曲线的标准方程为. 类型三、定义法 1．已知点F1－3,0和F23,0，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为 A.－＝1y0 B.－＝1x0 C.－＝1y0 D.－＝1x0 【答案】B 【解析】由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1x0，a0，b0，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1x0． 2．焦点坐标为，且经过点的双曲线标准方程为 。 【答案】； 【分析】利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答. 【解析】因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a， 则有 ，解得，双曲线半焦距， 虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为. 3、相距1 400 m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3 s，已知声速是340 m/s，则炮弹爆炸点所在的曲线的方程为 ． 【答案】－＝1. 【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系图略，则A－700,0，B700,0，设Mx，y为曲线上任一点，则||MA|－|MB||＝3403＝1 020＜1 400，∴M点轨迹为双曲线， 且a＝510，c＝700，∴b2＝c2－a2＝c＋ac－a＝1 210190， ∴M点轨迹方程为－＝1. 方法点拨 求双曲线标准方程的基本方法 （1）定义法依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值 （2）待定系数法设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λλ≠0 提醒求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1mn＜0求解。 巩固练习 1．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列方程组，解出，即可求解. 【详解】双曲线的一条渐近线为，所以.又有，解得，所以双曲线的方程为. 2．方程－＝12的化简结果为（） A．－＝1 B．－＝1C．－＝1x＞0D．－＝1x＞0 【答案】C 【解析】 【分析】设A−10,0，B10,0，，求出动点的轨迹方程即得解. 【详解】设A−10,0，B10,0，，由于动点Px,y的轨迹方程为－＝12， 则|PA|−|PB|12，故点P到定点A−10,0与到定点B10,0的距离差为12，则动点Px,y的轨迹是以10,0为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a12，c10，则， 故P的轨迹的标准方程为－＝1x＞0.所以原方程可以化简为－＝1x＞0. 3．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意列出满足的等量关系式，求解即可. 【详解】因为在双曲线的一条渐近线上，故可得； 因为抛物线的准线为，故，又；解得， 故双曲线方程为. 4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出椭圆的焦点，即得的值，可设出双曲线的标准方程，根据离心率以及，求出的值. 【详解】由椭圆方程，知半焦距为，所以双曲线的焦点在轴上，且，设双曲线方程为 ，又因为，所以，又因为得.所以双曲线的方程为. 5．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】先求出实半轴的长、虚半轴的长，再得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双