专题03 抛物线的焦点弦问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 03 抛物线的焦点弦问题 典例分析 类型一、求焦点弦的弦长 1．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（） A．12B．18C．16D．8 【答案】C 【分析】 设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由的中点的坐标，求出参数的值，即可得到，再根据焦点弦的性质计算可得； 【详解】由条件得，设，，直线的方程为，联立得，∴，由得.∴， 所以. 2．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，现将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则（） A．1B．C．2D．3 【答案】C 【分析】 作图，求出A点旋转后的与x轴正方向的夹角，写出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据弦长公式即可. 【详解】 依题意作上图， ， ，设 ，由抛物线的性质 ， ， ，AF与x轴正方向的夹角为 ，A点绕F逆时针旋转 后，得 点， 轴，直线l的方程为 ，代入抛物线方程得 ， ； 3．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______ 【答案】6.25 【分析】 设出直线AB，联立抛物线，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用的面积和向量比例关系得到，进而利用焦点弦公式进行求解. 【详解】 设直线AB为，联立抛物线得，设，，则，，其中，，则，由可得，则，解得，此时，所以，故，解得，当，时，，此时，当，时，，此时，综上，. 4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________. 【答案】 【分析】 根据题意可得，由于对角线与垂直，得四边形是菱形，在由抛物线的定义即可得到为等边三角形，可得直线的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案. 【详解】 垂直平分，，，在四边形中，对角线与垂直， 四边形是菱形，由抛物线的定义可得，故，为等边三角形 故 ，故 ，故直线。故把直线与抛物线进行联立得，设 ，则，。 类型二、求焦点弦的所在直线的斜率 1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】 设直线联立抛物线并应用韦达定理求出、、、关于k的表达式，根据求出k值，即可写出直线方程. 【详解】由题设，直线l的斜率存在且不为0，令，联立抛物线并整理得，则，，所以，，又，综上，，可得，故直线，即. 2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】 方法一根据题意，，进而设直线，，，进而联立方程，结合韦达定理得，，再根据面积比得，进而结合焦半径公式得，再解方程组即可得答案； 方法二设直线AB的倾斜角为，进而根据面积比得，根据焦半径与倾斜角的关系得，，进而得，，即可得答案. 【详解】 解法一由抛物线得，设直线，，， 故联立方程得，所以， 由已知和抛物线定义知，所以，故由焦半径公式得，即，故，解方程组得. 方法二由已知和抛物线定义知，设直线AB的倾斜角为， 则，，所以，解得，所以． 3．设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】 设直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理、抛物线的定义及，联立即可求得的值． 【详解】设方程为，，由，消去得， 则有①，由得，即②， 由①②解得， 4．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则 A． B．点的坐标为 C． D．弦的中点到轴的距离为 【答案】ACD 【分析】 由抛物线的方程可得焦点的坐标可得的值，判断A；由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断B；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C；根据AB中点恒坐标可求AB中点到y轴的距离，从而判断D． 【详解】抛物线的焦点为,，由题意可得，解得，即抛物线的方程为，∴A选项正确；过B作垂直于抛物线准线于，由得， ∴，即，代入抛物线的方程可得，∴，∴B选项不正确； 根据抛物线的对称性，不妨取当在轴下方时，即，，∴， ∴直线的方程为，与抛物线的方程联立可得，设，，∴，由抛物线的性质可得，∴C选项正确； ∵的中点的横坐标为，∴AB中点到y轴距离为，∴D选项正确； 类型三、有焦点弦的最值问题 1．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线、，直线与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则的最小值为 A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设，，设、斜率分别为，则.联立直线方程和抛物线方程，得和，由即基本不等式即可求其最小值. 【详解】设，，由题可知直线、的斜率存在且不为零， 设方程为，联立方程，得，∴， 同理设直线斜率为，则，，由抛物线定义可知 ，当且仅当或时，取得等号． 2．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 推导出，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 抛物线的焦点的坐标为，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设点、，设直线的方程为，联立，可得，，由韦达定理可得，， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为. 3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l与抛物线方程，表示出，求其最值即可. 【详解】 已知，设，，，则， ∵，所以，， ∴，当且仅当m0时，取. . 类型四、焦点与共线向量交汇问题 1．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】 当斜率不存在时，即，，不符合题意，设直线的斜率为，则直线的抛物线为，联立直线与抛物线方程，可得，再结合韦达定理和抛物线的性质，即可求解． 【详解】 点为抛物线的焦点，，设，，，， 当斜率不存在时，即，所以，不符合题意，设直线的斜率为，则直线的抛物线为， 联立直线与抛物线方程，化简整理，可得①， 由韦达定理，可得，， ，解得②， 将②代入①可得，，解得或，，， 又，，． 2．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到