专题04 以抛物线为情境的最值或范围问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 04 以抛物线为情景的最值与范围问题 典例分析 类型一、以抛物线为情景的点线最值问题 1．抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（） A． B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离． 【详解】 因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线的距离公式可得所求的最小距离 . 2．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（） A．2B．4C．5D．6 【答案】B 【解析】 【分析】 设出直线的方程，联立后利用弦长公式表达出，求出长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到的中点到的准线的距离为的一半，进而求出点到的准线的距离的最小值. 【详解】 如图， 分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，则 设直线的方程为，，，，.联立，整理得， 则，.，. 3．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（） A．2 B．3C．D． 【答案】A 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，即直线是抛物线的准线. 抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和，也即是到直线与焦点的距离之和， 最小值为到直线的距离，即. 4．已知抛物线Cy2＝4x的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与l′的距离分别为d1，d2，O为坐标原点，则当d1d2最小时，cos∠MFO＝（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l，垂足为N，d1d2＝|MF||MN|，当M、F、N三点共线时，d1d2最小，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形中的锐角的余弦值即可求出结果. 【详解】 由抛物线的定义可知，d1＝|MF|，设MN⊥l，垂足为N，∴d1d2＝|MF||MN|， 当M、F、N三点共线时，d1d2最小，∵抛物线Cy2＝4x，∴焦点F（1，0）， ∴|FN|＝d＝，设直线l与x轴的交点为D，令y＝0，得，即FD＝21＝3， 在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝． 类型二、以抛物线为情景的斜率最值问题 1．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（）． A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设点，，表示出，考虑 的正负情况，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】 由题意，，设点，，A在抛物线上，故， ，，由得，即， ，当时，；当时，，当且仅当即时，等号成立， 2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（） A．1B．C．D． 【答案】C 【分析】 设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值. 【详解】 因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.∴k有最大值， 3．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， 1求抛物线C的方程和点A的坐标； 2设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【答案】1， 2 【分析】 （1）根据题意求出p，得抛物线方程，代入点即可得解； （2）设直线，联立抛物线方程得出根与系数的关系，得出的范围， 再根据，求取值范围即可. 【解析】 1由题意知，得，所以抛物线C的方程为． 将点代入，得，所以点A的坐标为． 2直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或．设，则有，则，即，又． 所以，则 因为，设，则， 因为，则，所以 因为或，所以k的取值范围是。 类型三、有关抛物线焦点的最值问题 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，且l过点，M在抛物线C上，若点，则的最小值为（） A．4B．5C．6D．7 【答案】B 【分析】 先求出抛物线的方程，根据抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离，结合图象，即可求出结果． 【详解】 抛物线的焦点为，准线为且l过点，抛物线的准线方程是， 则抛物线的方程为，因为 ，点在抛物线内，过点作准线的垂线，垂足是， 在抛物线上，是抛物线的焦点，，当 三点共线时，（图中虚线位置），取到最小值，即最小值为， 2．（多选题）已知抛物线焦点为，点，点在抛物线上，则下列结论正确的是（） A．的最小值为3B．的最大值为7 C．的最小值为-2D．的最大值为3 【答案】ACD 【分析】 画出图象，根据抛物线的图象可得，，当，，三点共线时即可求解．过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，此时取最小值. 【详解】 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，A正确； 如图2，只有当，，三点共线时最大，最大值为，如图3，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值. 3．已知抛物线C的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（） A．抛物线C的准线l的方程为 B．的最小值为4 C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6 D．的最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B不正确；过作准线的垂线，垂足为，由抛物线的性质可得，可判断C正确；由两根之积及均值不等式的性质可得的最小值为，判断D正确． 【详解】 由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；中，过焦点的直线为，则，整理可得，可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确； 中，由B的分析可知 由抛物线的方程可得， 所以，当且仅当时取等号，所以正确； 类型四、以抛物线为情景的参数范围问题 1．已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】 设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案. 【详解】设直线与抛物线相切，联立，得，， ∵，∴