专题04 以双曲线为情境的最值或范围问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

双曲线必会十大基本题型讲与练 04 以双曲线为情境的最值或范围问题 典例分析 类型一数形结合解决与双曲线交汇的最值问题 1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（） A． B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为， 2．已知点A在双曲线C（b0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l，则|BD|的最小值为（） A． B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题. 【详解】作出图形如图所示， 设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l的距离为，故的最小值为， 3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（）. A．4 B．5C．6D．3 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案. 【详解】双曲线的方程为，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，， 由双曲线的定义，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为224. 类型二双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为 A． B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得. 【详解】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，∴，，∴，∴， 2．设为双曲线（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（） A．4B．8C．16D．32 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用几何关系得到，再利用基本不等式求的最小值，即得焦距的最小值. 【详解】设右焦点，其中一条渐近线设为，即，右焦点到渐近线的距离，即，，，的面积的最小值为16，即，，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立. 3．已知双曲线C，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为，即，设，有，因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1， 所以有，把代入化简得， ， 4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（ ） A．20B．22C．24D．25 【答案】C 【分析】设直线的方程为与双曲线方程联立求出点坐标，同理设直线的方程为，求出点的坐标，从而得出,在利用均值不等式可得答案. 【详解】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为．设，，联立，得，则，， ，同理可得， ，所以，即，当且仅当时等号成立． 【点睛】本题通过查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的应用，解答本题的关键是得到，后，根据表达式的特点，得到，再利用基本不等式求的最小值．属于中档题. 类型三利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题 1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围. 【详解】由、、成等比数列得，，即.，. 设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知， ，，.由得，即， 则，的取值范围为。 2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围． 【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以 3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围. 【详解】过点作于，过点作于， 因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以. 4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点. 1求双曲线的标准方程； 2当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围. 【答案】1；2或 【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程； （2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围. 【解析】1，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为， 则，可得，则点,，则，，则， 所以，双曲线的标准方程为. 2由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①， 由韦达定理可得，，则，， ，，，所以，②， 又③，由①②③得或. 类型四利用函数思想解决与双曲线有关