专题4 极值点偏移六脉神剑之“少商剑”（教师版）-极值点偏移专题

极值点偏移六脉神剑之“少商剑” 少商剑右手大拇指-手太阴肺经。特点剑路雄劲，颇有石破天惊，风雨大至之势。 纵观近几年与极值点偏移相关的考题，大多以含参数为主，攻克此类问题，能让考生在成为高手中的高手，所向披靡。 含参数的极值点偏移问题，是在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。 对点详析，利器显锋芒 ★已知函数 （Ⅰ）若函数fx存在最小值，且最小值大于0，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若存在实数x1,x2，使得fx1fx2，求证函数fx在区间上单调递增。 【答案】Ⅰ 0,1Ⅱ详见解析 【解析】（Ⅰ）f′（x）2x1x−ax， ①a≤0时，f′（x）＞0在（0，∞）恒成立， ∴f（x）在（0，∞）递增，故无最小值； ②a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞a， 由f′（x）＜0，解得0＜x＜a， 故f（x）在（0，a）递减，在（a，∞）递增， 此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna）， 令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0）， 则g（a）在（0，∞）递减，又g（1）＝0， ∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0， a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0， 故a的范围是（0，1）； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0， ∵f（x）在（0，a）递减，在（a，∞）递增， 不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a， 令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a）， 则h′（x）2x−a2xx−2a， ∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0， ∴h（x）在（0，a）递减， ∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0， 即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0， ∴f（x1）＞f（2a﹣x1）， ∵f（x1）＝f（x2）， ∴f（x2）＞f（2a﹣x1）， ∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a， ∵f（x）在（a，∞）递增， ∴x2＞2a﹣x1，∴a， ∴函数f（x）在区间[x1x22，∞）递增， ∵x1≠x2，∴， ∴函数f（x）在区间[x12x222，∞）上单调递增． ★已知函数. （1）当时，求函数在的单调性； （2）当且时，，求函数在上的最小值； （3）当时，有两个零点，，且，求证. 【答案】（1）在上单调递增（2）（3）证明见解析 【解析】（1）由题意，函数，则， 又∵，∴，，∴， ∴在上单调递增. （2）由，则， （1）当时，，， 此时图数在区间上单调递减， ∴函数在处取得最小值，即； （2）当时，令， 当时，即当，，， 此时函数在区间上单调递减，函数在处取得最小值， 即； 综上所得. （3）证明根据题意，， ∵，是函数的两个零点， ∴，. 两式相减，可得，即， ∴，则，. 令，，则. 记，，则. 又∵，∴恒成立，故，即. 可得，∴. 内练精气神，外练手眼身 ★已知函数，. （1）讨论ℎx的单调性； （2）若函数fxℎx鈭抔x的图象与直线交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明为fx的导函数. 【答案】（1）答案见解析；（2）见解析. 【解析】（1）定义域0,鈭 ℎxax2x−a22x2−a2xax2x−1x−a2x， ①当a21，即a2时，ℎx0，故ℎx在0,鈭上为增函数； ②当a21，即a2时，在上ℎx0；在1,a2上ℎx0； 故ℎx在0,1和a2,鈭上为增函数；在1,a2上为减函数； ③当0a21，即0a2时，在上ℎx0；在a2,1上ℎx0； 故在0,a2和上为增函数；在a2,1上为减函数； ④当，即a鈮时，在0,1上ℎx0；在1,鈭上ℎx0； 故在1,鈭上为增函数；在0,1上为减函数. （2）因为fxℎx−gxlnx2−ax−ax2x0 所以fx1x2−a−2ax−2x1ax−1x 当a鈮时，fx0，yfx在0,鈭上单调递增，不可能有两个交点，舍去； 当a0时，令fx0，则0 x1a；令fx0，则x1a. 故yfx在0,1a单调递增，在1a,鈭上单调递减. 不妨设Ax1,m，Bx2,m,且0 x11ax2. 要证fx00，需证ax0−10，即证x01a，故x1x22a， 即证x22a−x1 ，又因为yfx在1a,鈭上单调递减 即证fx2f2a−x1，又fx2fx1 故只需证fx1f2a−x1 即证当0 x1a时，f2a−x−fx0. 设Fxf2a−x−fxln2−ax−lnax2ax−2 则Fx−a2−ax−1x2a−2ax−12x2−ax0 所以Fxf2a−x−fx在0,1a单调递减， 又因为F1af2a−1a−f1a0，故Fxf2a−x−fx0得证 ★已知函数有两个不同的零点，求证. 不妨设，记，则， 因此只要证明， 再次换元令，即证 构造新函数， 求导，得在上递增，学*科网 所以，因此原不等式获证. ★已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明 法二利用参数作为媒介，换元后构造新函数 不妨设， ∵，∴， ∴，欲证明，即证. ∵，∴即证， ∴原命题等价于证明，即证，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三直接换元构造新函数 设， 则， 反解出，学*科网 故，转化成法二，下同，略. ★.已知是函数的两个零点，且. （1）求证； （2）求证. 2 要证，即证，等价于， 也即，等价于，令 等价于，也等价于，等价于即证 令，则， 又令，得，∴在单调递减， ，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.学*科网 ★已知函数，若存在，使，求证. 再证. ∵， 而， ∴.证毕. ★设函数的图像与轴交于两点， （1）证明； （2）求证. （2）证明由，易知且， 从而，令，则， 由于，下面只要证明， 结合对数函数的图像可知，只需证两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可， 又因为，即证， 令，则， ∴在上单调递减，∴，学*科网 ∴原不等式成立. ★设函数，其图像在点处切线的斜率为.