专题06以抛物线为情境的定值问题—抛物线必会十大基本题型讲与练（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 06 以抛物线为情景的定值问题 典例分析 类型一、有关斜率的定值问题 1．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点， ，记直线、的斜率分别为、，则（） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值. 【详解】 已知抛物线的焦点为， 若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 由以及直线的斜率存在可知，， 联立可得，，由韦达定理可得，， 所以， . 2．已知抛物线，过点作两条斜率为，的直线与抛物线的准线分别相交于点，．分别过，作的垂线交抛物线于点，，当时，则点到直线的距离的最大值是（） A．1B．C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设，，直线，与抛物线联立，得到韦达定理，由求得a的值.则直线过定点，则到直线的最大距离即MN. 【详解】 设，，直线，由，得．则． ，∴，得．∴直线过定点，则到直线的距离．当，即，或，时取等号． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. 1求的方程； 2若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，为定值.证明，且为定值. 【答案】1；2证明见解析 【分析】 （1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解； （2）由已知，分别设出，，，四点坐标，然后利用坐标分别表示出和的方程，然后将点代入方程，从而得到等量关系，然后代入到斜率的表达式中即可证明. 【解析】 1由已知，，，则，代入抛物线可得. 2设，，，，则，整理得，代入，可知，则 同理可得，，则 设，的中点分别为，，则， 则 则 4．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与E交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点O． 1求E的方程； 2连接AF，BF，分别延长交E于C，D两点，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由． 【答案】1 2是定值， 【分析】 （1）根据题意，设直线方程为，联立方程组，得出，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，所以，即可求出的值，进而求出E的方程； （2）再次联立方程组，表示出和，由（1）知，代入可求得为定值. 【解析】 1由题知，直线l的斜率不为0，可设其方程为，，，联立，得，所以，，因为以AB为直径的圆过原点O，所以OA⊥OB，即，所以，即，将代入，解得．所以E的方程为； 2设，，直线AF的方程为，联立，得， 所以，即，同理，即，， 同理，由（1）知，所以． 类型二、有关线段长度的定值问题 1．已知曲线Cy2＝2px（p＞0），过它的焦点F作直线交曲线C于M、N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P，可证明是一个定值m，则m＝（ ） A．B．1C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设直线MN的方程，与抛物线联立切线两根之和，进而求出MN的中点Q的坐标，再由抛物线的性质可得弦长|MN|的值，及|QF|的值，在△QFP中，求出|PF|的值，求出是一个定值，求出定值m． 【详解】 由抛物线的方程可得焦点F（，0），准线的方程为x，由题意可得直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝ty，设t＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理可得， 所以y1y2＝2pt，x1x2＝t（t1y2）p＝2pt2p，所以MN的中点Q（pt2，pt）， 由抛物线的性质可得|MN|＝x1x2p＝2pt22p＝2p（1t2），|QF|pt， 由直线MN的方程可得tan∠QFP，所以cos∠QFP，由题意在Rt△QFP中，|PF|p（1t2），所以为定值，所以m的值为， 2．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于，，，四点，则下列各式结果为定值的是（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】 如图，设四点横坐标为，根据题意和抛物线的定义可得、，联立直线方程和抛物线方程，消y得出关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得，进而得出结果. 【详解】 如图， 分别设四点横坐标为，由得焦点，准线， 由定义得，，又，所以，同理由消去y整理得，设，则，即. 3．已知抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若常数，则常数的值是（） A．1B．2C．3D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 设直线的标准参数方程（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程应用韦达定理，利用计算可求解． 【详解】 设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程得，，，， ，此值与的取值无关，则，即． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题的定值问题．解题关键是利用直线的参数方程，利用参数的几何意义求解．即设直线的方程为（为参数，是直线的倾斜角），代入抛物线方程后应用韦达定理得，而，由此易计算． 4．已知抛物线y2＝2pxp0的焦点弦AB的两端点坐标分别为Ax1，y1，Bx2，y2，则的值一定等于（） A．－4B．4C．p2D．－p2 【答案】A 【解析】 按照焦点弦AB是否与x轴垂直分类，设直线方程，结合韦达定理即可得解. 【详解】 ①若焦点弦AB⊥x轴，则，则；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设， 联立得，，则；又，∴，又，，. 类型二、有关线段长度的定值问题 1．（多选题）已知抛物线C，过焦点F的直线交抛物线C于两点，直线，分别于直线m相交于两点则下列说法正确的是（） A．焦点F的坐标为 B． C．的最小值为4 D．与的面积之比为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的最小值；D选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值. 【详解】 由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A错误；显然直线AB的斜率存在，设斜率为k，则直线AB的方程为，联立，消去x得到， ，，，故B正确；由抛物线性质知， 则，当且仅当时，取得最小值为4，故 C正确； 显然，（定值），故D正确． 2．如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为. 1若，求p； 2若，求证是之间的一个定值（不必求出定值）. 【答案】1 2证明见解析 【分析】 （1）根据且，利用抛物线的定义，列出方程，即可求解； （2）设，由，则，联立方程组分别求得，，，根据M，E，H三点共线，化简