专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性-妙解高考数学填选压轴题

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性 【方法点拨】 1.常见的与周期函数有关的结论如下 1如果fx＋a＝－fxa≠0，那么fx是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2如果fx＋a＝a≠0，那么fx是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 3如果fx＋a＋fx＝ca≠0，那么fx是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数奇偶性、对称性间关系 1若函数y＝fx＋a是偶函数，即fa＋x＝fa－x恒成立，则y＝fx的图象关于直线x＝a 对称；一般的，若fa＋x＝fb－x恒成立，则y＝fx的图象关于直线x＝对称． 2若函数y＝fx＋a是奇函数，即f－x＋a＋fx＋a＝0恒成立，则函数y＝fx关于点a，0中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有fa＋x＋fa－x＝2b恒成立，则y＝fx的图象关于点a，b对称. 3. 函数对称性、周期性间关系 若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． 注如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系 4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】 例1 （2022全国乙理T12） 已知函数的定义域均为R，且，．若的图像关于直线对称，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以 . 故选D 例2 （2022新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0D. 1 【答案】A 【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【解析】因为， 令可得，，所以， 令可得，，即， 所以函数为偶函数， 令得，，即有，从而可知，， 故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选A． 例3 （2021新高考全国Ⅱ卷8）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选B. 例4 （2021全国甲卷理12）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得，由②得， 因为，所以， 令，由①得，所以． 思路一从定义入手． 所以． 思路二从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选D． 例5 已知函数f x对任意的x∈R，都有f ＝f ，函数f x＋1是奇函数，当－≤x≤时，f x＝2x，则方程f x＝－在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4 【分析】由f ＝f 对任意的x∈R恒成立，得f x关于直线x＝对称，由函数 f x＋1是奇函数，f x关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f x的周期为2，作出函数f x的图象即可. 【解析】因为函数f x＋1是奇函数，所以f －x＋1＝－f x＋1，又因为f ＝ f ，所以f 1－x＝f x，所以f x＋1＝－f x，即f x＋2＝－f x＋1＝f x， 所以 函数f x的周期为2，且图象关于直线x＝对称．作出函数f x的图象如图所示， 由图象可得f x＝－在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为24＝4. 例6 已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有 A．（1）（2）（3） B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数在，上有5个零点 D．函数在，上为减函数 【分析】根据题意，利用特殊值法求出（2）的值，进而分析可得是函数的一条对称轴，函数是周期为4的周期函数和在区间，上为增函数，据此分析选项即可得答案． 【解答】解根据题意，函数是上的奇函数，则； 对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2）， 则有，即是函数的一条对称轴； 又由为奇函数，则，变形可得，则有， 故函数是周期为4的周期函数， 当，，，且时，都有，则函数在区间，上为增函数， 又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数； 据此分析选项 对于，，则（1）（2）（3）（4）（1）（3） （2）（4）， （1）（2）（3）（1）（2）（3）（4） （1）（2）（3）（2），正确； 对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则 是函数的一条对称轴， 又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确； 对于，函数在，上有7个零点分别为，，，0，2，4，6；错误； 对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数， 又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数， 正确； 故选． 例7 已知函数，，则关于x的方程的实数根之和为______；定义区间，，，长度均为，则解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3 【分析】根据题意得以函数关于点对称，进而利用导数研究函数性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x的方程的实数根之和；令整理得方程的实数根满足，再数形结合得解集为，最后根据定义求解区间长度的和即可. 【解析】因为， 所以函数关于点对称， 由于， 所以函数在上单调递减， 由于时，，，，， ，，，，，且时，. 故作出函数简图如图 根据图像可知，函数与函数图像共有4个交点，且关于点对称， 所以的实数根之和为； 令，整理得， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为， 所以由三次方程的韦达定理得， 由函数图像得解集为 所以全部区间长度之和为. 故答案为；. 【巩固训练】