专题7 极值点偏移六脉神剑之“少冲剑”（教师版）-极值点偏移专题

极值点偏移六脉神剑之“少冲剑” 少冲剑右手小指-手少阴心经。特点轻灵迅速。 对于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数. 对点详析，利器显锋芒 ★已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间内有两个极值点、，求实数的取值范围； （3）在（1）的基础上，求证. 【答案】（1）单增区间为，单减区间为；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）时，，则，由，得；，得.因此，函数的单增区间为，单减区间为； （2），其中， 由题意可知，、是函数在区间内的两个零点． 由得，结合（1），则问题也等价于在区间有两个零点， 从而，可转化为直线与的图象在上有两个交点， 由（1）知，函数在上单减，在上单增， 而当时，，，， 如下图所示 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是； （3）由（2）可知，、为在区间内的两个根， 且，其中是函数的极小值点，. 由，可得 故所证. 下面证明出，即证. 设，即证，即证. 构造函数，其中，则， 所以，函数在区间上单调递增，当时，. 所以，当时，，所以，. 将等式两式相减得，. ，因此，. 所以. ★已知. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设，，为函数的两个零点，求证. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析 （Ⅰ）根据导数，分类讨论，当时， ；当时， ，由 得， 时， ， 时， ，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数， 与图像两交点的横坐标为， ，利用单调性只需证 构造函数利用单调性证明． 点睛本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会． 内练精气神，外练手眼身 ★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为． （1）求的取值范围； （2）求证； （3）求证； （4）求证． 解（1），若，则，在上单调递增， 至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减， 在上递增，要使有两个不同的零点，则须有． （严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明当时，； 当时，）． （3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢回到题设条件 （ii）构造函数，则 （4）（i）同上； （ii）构造函数，则 当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即； （iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，． 点评虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数． 再次回到题设条件 ，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问． （3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，， 由不妨设． 【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度． 注1第（2）问也可借助第（4）问来证将，相加得． 注2在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类 ①若，则，结论成立； ②当时，类似于原解答． 而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别． ★已知函数有两个零点， 求证. 只要证即证，即证，由的单调性知，只需证， 同理构造函数，利用单调性证明，下略. ★已知的图像上有两点，其横坐标为，且. （1）证明； （2）证明. 又构造函数， 则， 故在上单调递增，由于时，， 且， 故必存在，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又时，，且， 故在上恒成立， 也即在上恒成立， 令，有， 再由，且在上单调递增， 故，即证成立. 综上即证成立. 从而对恒成立，同理得出. 综上即证成立，也即原不等式成立. ★已知函数． （1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值； （3）若函数有两个不同的零点， ，求证 ． 【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析. 试题解析 （1）因为点在曲线上，所以，解得． 因为，所以切线的斜率为0， 所以切线方程为． （2）因为， ①当时， ， ， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时， ， ， 所以函数在上单调递增，则； ③当，即时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则； ④当，即时， ， ， 函数在上单调递减，则． 综上，当时， ； 当时， ； 当时， ． 令，则，于是， 令（）， 则， 故函数在上是增函数， 所以，即成立，所以原不等式成立． 所以，即成立，所以原不等式成立． 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求. ★已知函数. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围； （3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明 0. 【答案】（1）（2）（3），理由见解析 用分离参数在上恒成立，即求的最大值. （3）有两个实根， ，两式相减，又， ．要证 ，只需证，令可证. 试题解析（1） 函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以． 于是 ． 要证 ，只需证 只需证．* 令，∴*化为 ，只证即可． 在（0，1）上单调递增，， 即．∴． ★已知函数fxlnx