专题03 抛物线的焦点弦问题（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 03 抛物线的焦点弦问题 典例分析 类型一、求焦点弦的弦长 1．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（） A．12B．18C．16D．8 2．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，，现将直线绕点F逆时针旋转得到直线l，且直线l与抛物线交于C，D两点，则（） A．1B．C．2D．3 3．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______ 4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，的垂直平分线分别交l和x轴于P，Q两点.若，则__________. 类型二、求焦点弦的所在直线的斜率 1．已知抛物线，过焦点的直线l与C交于A，B两点，若以为直径的圆与C的准线切于点，则l的方程为（） A．B．C．D． 2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为4，则的值为（） A．B．C．D． 3．设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若，则（ ） A．B．C．D． 4．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则 A． B．点的坐标为 C． D．弦的中点到轴的距离为 类型三、有焦点弦的最值问题 1．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线、，直线与交于A、B两点，直线与交于D、E两点，则的最小值为 A．B．C．D． 2．已知抛物线过焦点的直线与抛物线交于、两点，则最小值为（） A．B．C．D． 3．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于AB两点，且，则p的值为______． 类型四、焦点与共线向量交汇问题 1．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，且，则（） A．B．C．D． 2．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（） A．3B．4C．5D．6 巩固练习 1．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，若使的直线有且仅有1条，则（） A．B．C．1D．2 2．过抛物线焦点且斜率为的直线与交于，两点，设满足，则为（） A．B． C．D． 3．已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（） A．B． C．D． 4．抛物线的焦点为，直线过点，斜率，且交抛物线于，（点在轴的下方）两点，抛物线的准线为，为坐标原点，作于，于，小明计算得出以下三个结论①；②平分；③．其中正确的结论个数为（） A．0B．1C．2D．3 5．已知抛物线Cy24x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是（） A．若直线l⊥x轴，则|AB|2B． C．y1y2-4 D．∠A1FB1 6．（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（） A．没有最大值也没有最小值B． C．D． 7．抛物线有如下光学性质由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则平分 C．若，则 D．若，延长交直线于点，则，，三点共线 8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值为 D．的最小值为 9．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，则（） A． B．以为直径的圆与直线相切 C．的最小值 D．经过点与轴垂直的直线与直线交点一定在定直线上 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（） A．以线段为直径的圆与直线相切 B．以线段为直径的圆与轴相切 C．当时， D．的最小值为 11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点为，过点的直线交于不同的，两点，则下列说法正确的是（） A．若点，则的最小值是4 B． C．若，则直线的斜率为 D．的最小值是9 12．已知直线过抛物线的焦点，且直线与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，，.则下列选项正确的是（） A．B．以线段为直径的圆与直线相离 C．当时，D．面积的取值范围为 13．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则______________. 14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______． 15．已知抛物线直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率___________. 16．已知F是抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，线段中点的纵坐标为4，则________． 18．如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，交其准线于点，若，且，则_______. 17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______. 18．已知抛物线C上一点到焦点F的距离为2． 1求实数p的值； 2若直线l过C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且，求直线l的方程． 19．如图，抛物线Ey2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C. 1若B为线段AC的中点，求直线l的斜率； 2若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．