专题04 以双曲线为情境的最值或范围问题（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

双曲线必会十大基本题型讲与练 04 以双曲线为情境的最值或范围问题 典例分析 类型一数形结合解决与双曲线交汇的最值问题 1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（） A． B．C．D． 2．已知点A在双曲线C（b0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l，则|BD|的最小值为（） A． B．C．D． 3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（）. A．4 B．5C．6D．3 类型二双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题 1．已知双曲线的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为 A． B．C．D． 2．设为双曲线（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（） A．4B．8C．16D．32 3．已知双曲线C，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（） A．B．C．D． 4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（ ） A．20B．22C．24D．25 类型三利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题 1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（） A． B． C． D． 2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________． 3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________. 4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点. 1求双曲线的标准方程； 2当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围. 类型四利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题 1．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 【答案】C 2．已知实数满足，则的取值范围是____________ 3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________． 4．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. 1若的面积为，求直线AB的方程； 2若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 方法点拨 求解与双曲线有关的范围或最值问题的方法 1几何法如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解． 2代数法若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围或最值问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围或最值问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解． 3不等式法借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解． 巩固练习 1．已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（） A．B．C．D． 3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（） A．B．C．D． 4．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（） A．48 B．49C．50D．42 4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（） A．B．C．D． 5．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（） A． B．C．D． 6．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（） A．B．C．D． 7．（多选题）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（） A．的焦点到渐近线的距离为4B．的离心率为 C．上的点到距离的最小值为2D．过的最短的弦长为 8．（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（） A．直线是双曲线的一条渐近线 B．点与直线的距离的最小值为1 C．线段的最短长度为1 D．线段的最短长度为6 9．（多选题）已知P是双曲线C上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2k1k2≠0，若|k1||k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数a＞0，a≠1的图象恒过双曲线C的一个焦点 D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2 10．（多选题）已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（） A．若，的斜率分别为，，则 B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（多选题）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为 A．4B．C．2D． 12．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________. 13．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边