专题09 双曲线与平面向量的交汇问题（解析版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

双曲线必会十大基本题型讲与练 09 双曲线与平面向量的交汇问题 典例分析 类型一以平面向量数量积为条件情境 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为（） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】利用双曲线定义知，再利用垂直关系知，再结合的等面积法即可求解. 【详解】由点A在双曲线上，由双曲线定义知，又，，，，即 ，，设的内切圆的半径为， 由的等面积法知 ，即的内切圆的半径为， 2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程. 【详解】因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得，解得，故，把A点代入双曲线方程，得，解得，显然0，所以，所以双曲线的渐近线为 3．以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为2，1，双曲线C上的点Px0，y0x00，y00满足＝，则（） A．2B．4 C．1D．－1 【答案】A 【解析】由题意可得双曲线方程，转换条件为，进而可得F1M平分∠PF1F2，再由内切圆的性质可得点M2,1就是△F1PF2的内心，即可得解. 【详解】由题意，双曲线方程为，|PF1|－|PF2|＝4，由，可得，所以F1M平分∠PF1F2，设△F1PF2内切圆与各边的切点分别为，如图， 则，所以点为双曲线右顶点，△F1PF2的内心在直线x＝2上， 所以点M2,1就是△F1PF2的内心，△F1PF2内切圆的半径为1，故. 类型二以平面向量数量积为问题情境 1．、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果. 【详解】在双曲线中，，，，则、， 因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，，可得，联立，解得，因此，. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法 （1）利用定义（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果. 【详解】由抛物线方程知，，解得；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且， ，当时，取得最小值，最小值为. 【点睛】本题考查双曲线中的平面向量数量积的最值求解问题，易错点是容易忽略题目中双曲线位于轴上方的点的纵坐标的取值范围，从而造成最值点求取错误. 3．已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】首先设，根据题中所给的双曲线方程，写出其右焦点坐标，之后求得，之后应用线性规划的思想，结合是该双曲线上且在第一象限的动点，从而求得其范围. 【详解】设，因为为双曲线的右焦点，所以，所以，令，则是与渐近线平行的直线， 直线过时，，直线为渐近线时，，因为是该双曲线上且在第一象限的动点， 所以，即所求的取值范围为. 4．（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（） A． B．C．D． 【答案】BCD 【解析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，由此可得出合适的选项. 【详解】设点，则或，且有，可得，，， ，令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，函数单调递减，此时； ②当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为.因此，的值可以是、、. 5．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程. （1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程； （3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值. 【答案】（1）或；（2）0. 【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况； （2）设Px1,y1,Rx2,y2,则Q-x1,-y1,Ex1,0,写出EQ的方程，与曲线C的方程联立，根据Q，R的横坐标-x1,x2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得，进而计算可得. 【详解】（1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r2为半径的圆， 直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，∴直线l被圆所截得弦长为2，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为, 由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为； （2）设,则,则直线EQ 代入曲线C的方程并整理得, Q，R的横坐标是这个方程的两实数根，∴, ∴,, ,由于,∴ 类型三以平面向量共线向量为条件情境 1．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为 A．B．C．D．2 【答案】A 【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项. 【详解】由直线方程与双曲线方程联系得，设，∵，∴，∴，，，∴，，， ∴，解得， 【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 2．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（） A．3B．2C．D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率． 【详解】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以， 3．（多选题）已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（） A．B．－C．D．－ 【答案】AB 【分析】利用成等差