专题06以双曲线为情境的定值问题(原卷版)-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型
双曲线必会十大基本题型讲与练 06 以双曲线为情境的定值问题 典例分析 类型一有关角的定值问题 1.已知为坐标原点,双曲线(,)的左焦点为,右顶点为,过点向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为,且,直线与双曲线的左支交于点,则的大小为() A. B. C.D. 2.在平面直角坐标系中,设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点,记,,则的值为() A. B.C.D. 类型二有关斜率的定值问题 1.设双曲线C1(a>0,b>0)的离心率为,A、B是双曲线C上关于原点对称的两个点,M是双曲线C上异于A,B的动点,直线MA的斜率,则MB的斜率() A.24 B.C.24D. 2.已知双曲线,过原点作直线与双曲线交于、两点,点为双曲线上异于、的动点,且直线、的斜率分别为、,若双曲线的离心率为,则() A.B.C.D. 3.已知双曲线上有不共线的三点,且的中点分别为,若的斜率之和为-2,则 A.-4B.C.4D.6 4.(多选题)在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,且双曲线的左焦点在直线上,、分别是双曲线的左、右顶点,点是双曲线的右支上位于第一象限的动点,记、的斜率分别为、 ,则下列说法正确的是() A.双曲线的渐近线方程为 B.双曲线的方程为 C.为定值 D.存在点,使得 5.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为、,离心率为2,过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点. 1求双曲线的渐近线方程; 2记直线、的斜率分别为、,求证为定值. 类型三有关距离的定值问题 1.已知,是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为,那么的值为 A.16 B.12C.8D.随变化而变化 2.已知双曲线C的左右焦点分别是,,点P是C的右支上的一点(异于顶点),过作的角平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则() A.随P点变化而变化B.5 C.4D.2 3.已知双曲线C()的左、右焦点分别为,,点A是双曲线右支上一点,且(O为坐标原点),则() A.2B.3C.4D.5 4.已知双曲线,为坐标原点,,为双曲线上两动点,且,则() A.2 B.1C.D. 5.已知点为坐标原点,点在双曲线上,过点作双曲线的某一条渐近线的垂线,垂足为,则的值为___________. 类型四有关面积的定值问题 1.已知双曲线 ,过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和,设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为,直线与轴、轴所围成的三角形的面积为,则的值为________. 2.已知双曲线Ca>0,b>0的一个焦点坐标为3,0,其中一条渐近线的倾斜角的正切值为,O为坐标原点. 1求双曲线C的方程; 2直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切切点不为右顶点,且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点,证明△MON的面积为定值,并求出该定值. 类型五有关定值的逆向问题 1.已知点,是双曲线(,)的左、右顶点,,是双曲线的左、右焦点,若,是双曲线上异于,的动点,且直线,的斜率之积为定值,则() A.2 B.C.D.4 2.已知双曲线(,),、为双曲线上关于原点对称的两点,为双曲线上的点,且直线、的斜率分别为、,若,则双曲线的离心率为() A. B.C.D. 方法点拨 定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. 巩固练习 1.是双曲线的左、右顶点,为双曲线上异于的一点,则直线的斜率之积为() A.B.C.D. 2.已知A,B是双曲线Γ=1a>0,b>0的左、右顶点,动点P在Γ上且P在第一象限.若PA,PB的斜率分别为k1,k2,则以下总为定值的是( ) A.k1+k2B.|k1-k2| C.k1k2D. 3.已知点O为坐标原点,点M在双曲线Cx2-y2λλ为正常数上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON||MN|的值为 A.B.C.λD.无法确定 4.已知双曲线E a>0,b>0的渐近线方程为3x4y=0,且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为,过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A,B两点,在双曲线E上取一点C与A,B不重合,直线AC,BC 的斜率分别为k1,k2,则k1k2等于( ) A.B.C.D. 5.(多选题)已知双曲线,若圆与双曲线的渐近线相切,则() A.双曲线的实轴长为 B.双曲线的离心率 C.点为双曲线上任意一点,若点到的两条渐近线的距离分别为、,则 D.直线与交于、两点,点为弦的中点,若(为坐标原点)的斜率为,则 6.(多选题)在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,分别是双曲线的左,右顶点,点是双曲线的右支上位于第一象限的动点,记,的斜率分别为,则() A.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线的方程为 B.双曲线的渐近线方程为 C.为定值 D.存在点,使得 7.(多选题)已知双曲线的离心率为,其中,是双曲线的左右顶点,是双曲线上位于第一象限上的动点,记,的斜率分别是,.则下列说法正确的是() A.双曲线的渐近线方程为 B.为定值 C.双曲线上存在点,使得 D.设,是双曲线的左、右焦点,若,则 8.(多选题)已知双曲线的左、右顶点分别为,,点是上的任意一点,则() A.双曲线的离心率为 B.焦点到渐近线的距离为3 C.点到两条渐近线的距离之积为 D.当与、不重合时,直线,的斜率之积为3 9.双曲线的虚轴长为,两条渐近线方程为,双曲线上有两个点、,直线和的斜率之积为,则_________. 10.双曲线的离心率为,点,是双曲线上关于原点对称的两点,点是双曲线上异于点,的动点,若直线,的斜率都存在且分别为,则的值为___________. 11.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____. 12.设是双曲线上的动点,若到两条渐近线的距离分别为,,则____. 13.已知直线与双曲线交于,两点,为双曲线上不同于,的点,当直线,的斜率,存在时,__________. 14.双曲线与椭圆的焦点相同,且渐近线方程为,双曲线的上下顶点分别为A,B.过椭圆上顶点R的直线l与双曲线交于点P,Q(P,Q不与A,B重合),记直线的斜率为,直线的斜率为. 1求双曲线的方程;2证明为定值,并