专题09抛物线与平面向量的交汇问题（原卷版）-高考数学圆锥曲线部分必会十大基本题型

抛物线必会十大基本题型讲与练 09 抛物线与平面向量的交汇问题 典例分析 类型一、以向量为问题情景 1．已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（） A．B．1C．16D． 2．已知抛物线，P为直线上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（） A．B．-1C．D．-2 3．已知抛物线（），直线交于A、B两点. 1若当时，，求p的值； 2如图，（i）若，求面积的最小值. （ii）抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D，AC和BD交于G，.证明存在实数，使得. 类型二、以向量为条件情景 1．已知抛物线的准线交轴于点，过点作直线交于，两点，且，则直线的斜率是（） A．B．C．D． 2．已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（） A．B．3C．D．6 3．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（） A．B．C．3D．4 4．（多选题）已知抛物线C0的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于两点，且满足其中O为坐标原点且A、B均不与O重合，则 A．B．直线恒过定点 C．A、B中点轨迹方程D．面积的最小值为16 类型三、以向量为解题工具 1．直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A､B两点，O是抛物线的顶点，则的大小可以是（） A．B．C．D． 2．已知抛物线C，直线l交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为____________. 3．已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________. 4．已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线C上，且，直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点． 1求抛物线C的方程； 2若直线交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证点T在定直线上． 巩固练习 1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（） A．B．2C．D． 2．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于（位于第一象限）、两点，直线与交于点，若，则（） A．B．C．D． 3．已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线，点，连接交抛物线于点，，则的面积为（） A．4B．9 C．D． 4．已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A．1个B．2个C．3个D．无数个 5．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（）． A．6B．4C．3D．2 6．已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（） A．B．C．D． 7．（多选题）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（） A．对于任意直线m，均有AE⊥PF B．不存在直线m，满足 C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切 D．存在直线m，使|AF||BF|2|DF| 8．（多选题）抛物线焦点为，直线经过点交于两点，交轴于点，若，则 A． B．点的坐标为 C． D．弦的中点到轴的距离为 9．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为（） A．B．C．2D．3 10．（多选题）已知抛物线的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点（A在第一象限），交抛物线C的准线于点D，若，，则以下结论正确的是（） A．B．直线l的倾斜角为 C．D．以为直径的圆与抛物线C的准线相切 11．（多选题）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于A，两点，交轴于点，若，则（） A．B．点的坐标为 C．D．弦的中点到轴的距离为 12．（多选题）已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，连接并延长分别交于两点，连接，则下列结论中，正确的为（） A．B．的面积是定值 C．定值D．设，则 13．已知过点的直线与抛物线交于不同的A，B两点，以A，B为切点的两条切线交于点N，若，则p的值为__________． 14．已知抛物线（）的焦点F与圆的圆心重合，直线与C交于、两点，且满足（其中为坐标原点且A，均不与重合），对于下列命题 ①，； ②直线恒过定点； ③A，中点轨迹方程；④面积的最小值为16.以上说法中正确的有______. 15．已知抛物线的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则________． 16．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C，若，则直线l的斜率为______. 17．已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______ 18．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为， 1求曲线的方程； 2已知圆，若、在交点处的切线相互垂直，求a的值． 19．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A和B两点，过A和B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点E． 1求证． 2若，求的面积的取值范围． 20．已知椭圆的离心率为，且经过点，椭圆C的右顶点到抛物线的准线的距离为4． 1求椭圆C和抛物线E的方程； 2设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐标原点，若，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F. 1若四边形ABCD为等腰梯形，求； 2若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值. 22．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，. 1证明A，B的纵坐标之积为定值； 2若，求此时直线l的方程.