专题11 双变量方程类存在性、任意性问题-妙解高考数学填选压轴题

专题11 双变量方程类存在性、任意性问题 【方法点拨】 解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系或两个函数最值之间的关系，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质． 若fx，gx的值域分别为A，B，则有 ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得fx1gx2成立，则； ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得fx1gx2成立，则. 【典型题示例】 例1 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ） A 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】，则当 时，；当 时，，∴ .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值为.故选A. 例2 已知函数gx＝a－x2与hx＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 [1，e2－2] 【解析】 函数gx＝a－x2 与hx＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2ln x在上有解，即－a＝2ln x－x2在上有解. 设fx＝2ln x－x2，x∈， 则f′x＝. ∴f′x＝0在上有唯一的零点x＝1. 故fx在上单调递增，在1，e]上单调递减. ∴fxmax＝f1＝－1， 又f＝－2－，fe＝2－e2，知fe＜f. ∴函数fx的值域为[2－e2，－1]. 故方程－a＝2ln x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，即1≤a≤e2－2， ∴实数a的取值范围是[1，e2－2]. 例3 已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】令，，.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数的取值范围. 【解析】令，，. 当时，，故在为增函数， 故在上的值域为. 又当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数. 令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 故对直线与函数的图象有且只要一个公共点， 而，且在上为减函数，在上为增函数， 故，所以，即. 故答案为. 例4 已知函数 ，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】当时，单调递减，； 当时，成立， 单调递增，， 所以的值域为． 设的值域为，因为存在，使得成立， 所以．，． ①，任意，成立，在单调递增， 所以，，． 因为，所以，； ②，任意，成立，在单调递减， 所以，，， 则，不合题意； ③，令，， 在递减，递增， 所以，，． 又，， 则，不合题意． 综上所述，． 点评 存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系. 例5 已知fx是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈0，2]时，fx＝2x－1，函数gx＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得gx2＝fx1，则实数m的取值范围是______________． 【答案】 [－5，－2] 【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得． 【解析】x∈0，2]时，fx＝2x－1为增函数，值域为0，3]， 因为fx是定义在[－2，2]上的奇函数，所以fx在[－2，2]上的值域为[－3，3]， 函数gx＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]． 因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得gx2＝fx1， 所以fx在[－2，2]上的值域是gx＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集， 所以，解得 即实数m的取值范围是[－5，－2]． 点评 考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系. 例6 已知函数fx＝gx＝－x2－2x－2．若存在a∈R，使得fa＋gb＝0，则实数b的取值范围是________． 【答案】－2,0 【解析】当x≤－时，fx＝1＋＜1， 此时fx＝1＋＝1＋－在上单调递减，易求得fx∈[－7,1； 当x＞－时，fx＝log， 此时fx在上单调递减，易求得fx∈－∞，2， ∴fx的值域为－∞，2． 故存在a∈R，使得fa＋gb＝0⇒－gb＝fa∈－∞，2⇒b2＋2b＋2＜2⇒b∈－2,0． 例7 已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（ ） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】对任意，则，即函数的值域为， 若对任意，总存在，使， 设函数的值域为A，则满足，即可， 当时，函数为减函数，则此时， 当时，， ①当时，（红色曲线），即时，满足条件， ②当时，此时，要使成立， 则此时， 此时满足（蓝色曲线），即，得， 综上或， 故选C． 例8 若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对进行“完全分参”，两边同时除以、移项得，令，问题转化为存在正数，使得成立，再设，只需的值域. 【解析】对两边同时除以、移项得， 令，问题转化为存在正数，使得成立， 设，只需的值域. 猜根，往与的方向猜，可得 再设，则 故在区间单减 所以在区间只有一个零点为 且当时， 故有当，，单增；当，，单减 故当时，取得极大值也就是最大值为，无最小值 故即为所求. 【巩固训练】 1.已知函数fx＝3x2＋2x－a2－2a，gx＝x－，若对任意x1∈[－1,1]，总存在x2∈[0,2]，使得fx1＝gx2成立，则实数a的取值范围是 ． 2.已知函数fx＝2x，x∈，函数gx＝kx－2k＋2k0，x∈，若存在x1∈及x2∈，使得fx1＝gx2成立，求实数k的取值范围． 3.已知函数fx＝x2＋x，gx＝lnx＋1－a ，若存在x1，x2∈[0，2]，使得fx1＝gx2 ，求实数a的取值范围. 4.已知函数fx＝x≥2，gx＝axa＞1，x≥2． 1若∃x0∈[2，＋∞，使fx0＝m成立，则实数m的取值范围为__________； 2若∀x1∈[2，＋∞，∃x2∈[2，＋∞，使得fx1＝gx2，则实数a的取值范围为__________． 5.已知函数，，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是 。 6.已知函数fx，gx −x2−2x−2，若存在a∈R，使得