专题13 超几何分布（解析版）-概率统计题型全归纳

专题13 超几何分布 例1．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品数的数学期望值是 A．B．C．D． 【解析】解设抽到的次品数为， 则有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽 件产品，抽到的次品数服从超几何分布即，，， 抽到的次品数的数学期望值 故选． 例2．有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量①表示取出的最大号码；②表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的总得分；④表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是 A．①②B．③④C．①②④D．①②③④ 【解析】解超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布． 故选． 例3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则 ．（用数字表示） 【解析】解由题意 故答案为 例4．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 ． 【解析】解从10件产品任取3件的取法共有，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取法分别为，． 因此所求的概率． 故答案为． 例5．设袋中有8个红球，2个白球，若从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率为 ． 【解析】解从袋中10个球中任取4个球，共有种取法，则其中恰有3个红球的取法为． 从袋中任取4个球，则其中恰有3个红球的概率． 故答案为． 例6．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ． 【解析】解设抽到次品个数为，则，2， 故答案为 例7．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求 （1）取出的3个球中红球的个数的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 【解析】解（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 且服从参数为，，的超几何分布， 因此；（1分） 所以， ， ， ；（4分） 所以的分布列为 0 1 2 3 （6分） （2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球” 为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，（7分） 由于事件，，彼此互斥，且， 而， ， ，（10分） 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为 ．（11分） 答取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．（12分） 例8．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求 （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）他能通过初试的概率． 【解析】解（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为，且、1、2、3，服从超几何分布， 分布列如下 0 1 2 3 即 0 1 2 3 （2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况， 这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到 例9．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， （1）请列出的分布列； （2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【解析】解（1）依题意得，随机变量服从超几何分布， 随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4． ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）由分布列可知至少选3名男生， 即． 例10．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件， （1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率； （2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望． 【解析】解设该批产品中次品有件，由已知， （2分） （1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分） （2）可能为0，1，2 （10分） 的分布为 0 1 2 则（13分） 例11．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少 【解析】解以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用表示“5箱中不合格产品的箱数”，则服从超几何分布，2，． 这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格， 所以被接收的概率为，即． 答该批产品被接收的概率是． 例12．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为． （1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表 （2）现规定若，则甲胜；若，则乙胜．你认为这种规定合理吗为什么 【解析】解（1）根据相互独立事件概率乘法公式得 （2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则 当时，，1，0，其概率为 当时，，0，其概率为； 当时，，其概率为； 甲获胜的概率为 若乙获胜，则 当时，，1，0，其概率为； 当时，，0，其概率为； 当时，，其概率为； 乙获胜的概率为 甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的． 例13．某热水瓶胆生产的6件产品中，有4件正品，2件次品，正品和次品在外观上没有区别，从这6件产品中任意抽检2件，计算 （1）2件都是正品的概率 （2）至少有一件次品的概率． 【解析】解从6件产品中，抽取2件的概率有种 （1）其中两件都是正品的基本事件有种 故2件都是正品的概率 （2）由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件 故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率 即至少有一件次品的概率． 例14．已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止． （1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率； （2）记恰好在第次测试时3件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值． 【解析】解（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品； 则有种情况，从10件产品中顺序取出5件，有种情况， 则第5次测试时3件次品全部被测出的概率， （2）根据题意，分析可得的范围是， 当时，若恰好在第次测试时3件次品全部被测出，则第次取出第3件次品，前次中有2次是次品，次是正品；而从10件产品中顺序取出件，有种情况，则， 则（3），（4），（5），（6）；