专题14 立体几何多选题 （解析版）-新高考多选题分章节特训

专题14 立体几何多选题 1.已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是 A．B．存在一个位置，使为等边三角形 C．与不可能垂直D．直线与平面所成的角的最大值为 【答案】ABD 【解析】A选项，因为菱形中，与相交于点，所以，； 将沿折起，使顶点至点，折起过程中，始终与垂直，因此， 又，由线面垂直的判定定理，可得平面，因此，故A正确； B选项，因为折起的过程中，边长度不变，因此；若为等边三角形，则；设菱形的边长为，因为，则，即，又，所以，即二面角的余弦值为时，为等边三角形；故B正确； C选项，，，由A选项知，，， 所以，因此， 同B选项，设菱形的边长为，易得，， 所以，显然当时，，即；故C错误； D选项，同BC选项，设菱形的边长为，则，，，由几何体直观图可知，当平面，直线与平面所成的角最大，为，易知. 故选ABD. 2.如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确； 对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确； 对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误； 对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确 故选ABD 3.已知两条直线，及三个平面，，，则的充分条件是（ ）． A．，B．，， C．，D．，， 【答案】 ABC 【解析】由面面垂直定理可以判断正确， 对于选项，，，，也可以得到，故错. 故选. 4.如图,在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, ,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有 A．∥平面B．平面∥平面 C．直线与直线所成角的大小为D． 【答案】 ABD 【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B, 由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠ PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠ PDC，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又 ∥ON，所以，故ABD均正确. 5.已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，.若点为的中点，则下列说法正确的为（ ） A．平面 B．面 C．四棱锥外接球的表面积为 D．四棱锥的体积为6 【答案】 BC 【解析】作图在四棱锥中 由题侧面平面，交线为，底面为矩形，，则 平面，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误； 连接交于，连接，中，∥，面， 面，所以面，所以选项B正确； 四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，取中点，连接， ，则平面，，四棱锥的体积 所以选项D错误. 矩形中，易得， 中求得在中 即 ，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 所以其体积为，所以选项C正确 故选BC 6.正方体的棱长为2，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（ ） A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六访形D．截面面积最大值为 【答案】ACD 【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立， 如图设截面为多边形， 设，则， 则 所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和， 所以 因为， ， 所以 当时，，故D成立。 故选ACD． 7.正方体的棱长为1，分别为的中点．则（ ） A．直线与直线垂直B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等 【答案】 BC 【解析】对选项A（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误； （方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误； 取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确； 对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确； 对于选项D（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误. （方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误. 8.如图，矩形，为的中点，将沿直线翻折成，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是 A．存在某个位置，使得B．翻折过程中，的长是定值； C．若，则；D．若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是. 【答案】 BD 【解析】对于A，取的中点为，连接交于点，如图 则， 如果，则, 由于，则, 由于三线共面且共点， 故这是不可能的，故不正确； 对于B，如图，由, 且， 在中，由余弦定理得 ，也是定值， 故是定值，故正确； 对于C，如图 ，即,则 若，由于， 且平面， 平面，平面， ，则, 由于，故不成立，故不正确； 对于D，根据题意知，只有当平面平面时， 三棱锥的体积最大，取的中点为， 连接，如图 ，则， 且，平面平面 ，平面 平面，平面 ， 则，, , 从而, 易知 的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为， 表面积是，故D正确； 故选BD 9.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A．若则 B．若则 C．若，，则 D．若，则 【答案】 ACD 【解析】 若，则且使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A对； 若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故B错； 垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对； 若，则，又，则，故D对； 故选ACD． 10.在长方体中，，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．B．平面EFPQ C．平面EFPQD．直线和所成角的余弦值为 【答案】 ABD 【解析】A．如图所示， 因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为几何体为长方体，所以平面，所以， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以，故结论正确； B．如图所示， 假设平面，因为