专题18几类函数的对称中心及应用-妙解高考数学填选压轴题

专题18 几类函数的对称中心及应用 【方法点拨】 1.三次函数的对称中心为，，其中，即，. 记忆方法类比于二次函数的对称轴方程，分母中. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）的对称中心为. 记忆方法横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）. 3. 指数复合型函数的对称中心为. 记忆方法横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）. 【典型题示例】 例1 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减 令，则为R上的单调递减的奇函数 由得 即 因为为奇函数，故 所以 又在R上单减，所以，解之得 所以实数的取值范围是. 例2 设是函数的导数，是的导数，若方程＝0有实数解，则称点，为函数的“拐点”．已知任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设，数列的通项公式为，则＝ ． 【解析】令得， 对称中心为， 所以对于任意恒成立 因为，所以 所以 所以． 例3 已知函数与在（，且）上有个交点，，，，则 A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以 ，选B. 【巩固训练】 1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是对任意都有，判断函数的对称中心______. 2. 函数y的对称中心是 ． 3. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ） A、0 B、7 C、14 D、21 4. 已知函数（其中）图象关于点P－1，3成中心对称，则不等式的解集是 ． 5. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____. 6. 已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____. 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 . 8.已知，则的值为 ． 9.已知函数 ，若对，恒成立，则的取值范围是 ． 10. 已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．B．C．D． 11. 已知函数，若，其中，则的最小值为 A．B．C．D． 12. 函数在上的所有零点之和等于______. 【答案与提示】 1.【答案】 【分析】根据点是图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果. 解因为，由于 .即，.所以是的一个对称中心. 故答案为. 2.【答案】（4，-1） 【解析】 3.【答案】D 【提示】根据函数值之和求自变量之和，很自然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数的对称中心. 函数可以视为由与构成，它们的对称中心不一样，可以考虑对函数的图象进行平移, 比如，引入函数，则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识不难得出的图象关于点中心对称. 4.【答案】 【解析】函数的对称中心为－1，a，与P－1，3比较得a＝3.此时，不等式，即 ，由序轴标根法即得解集为. 5.【答案】1 【提示】过定点（2,2）， 对于三次函数，令 得，又，所以也关于点（2,2）对称，所以，. 6.【答案】－1 7.【答案】 【解析】的对称中心是，其定义域为R且单增（下略）. 8.【答案】 【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求 的值，易得. 【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故. 9.【答案】 10.【答案】D 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可. 【解析】， 令，则，可得是奇函数， 又， 又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立； 当且仅当，即时等号成立； 故，可得是单调增函数， 由得， 即，即对恒成立. 当时显然成立；当时，需，得， 综上可得，故选D. 11.【答案】A 【分析】通过函数解析式可推得，再利用倒序相加法求得 ，得到的值，然后对分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案. 【解析】因为， 所以 ， 令 则 ，所以 所以，所以，其中，则. 当时 当且仅当 即 时等号成立； 当时 ， ， 当且仅当 即 时等号成立；因为，所以的最小值为.故选A. 12.【答案】8 【分析】通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和． 【解析】零点即 ，所以 即，画出函数图像如图所示 函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点 图像关于 对称，所以各个交点的横坐标的和为8