投篮问题建模

数学建模竞赛论文 摘要 在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因 此篮 球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。 本文就是 通过对已知数据的计算与整合， 并通过建立三种投篮方式的数学 模型来分析三种 投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素， 从而为投 篮训练和篮球竞赛策略 提供科学的建议。我们对不同的投篮方式根据其在比 赛中的实际效果采用了不同 的数学模型使得计算结构更加科学可靠。 首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方 法找 到影响罚篮的两个关键因素即出投角度， 和出球速度。 在这里我们通 过对出球角 度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s, 这样合理的假设 了运动员的出球速度是在89m/sz之间。并通过罚篮中篮 球命中蓝框中心所允许 的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出 球速度的最大偏差， 也就是 说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一 些， 故训练中我们应该着重注意出球 的角度。 其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了 距离 参数L和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小 来刻画命中 率。我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析 得到， 改变出头 距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角 度区间。 因此可以看出 在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。 接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较 长，运 行速度偏快， 导致空气阻力的影响很大， 因此不能够忽略空气阻 力， 我们在前面 模型的基础上加入水平空气阻力， 并且由于采用跳投的方 式出球高度也适当懂得 增加。最后建立起模型通过给定数据来研究出球高 度， 和出球角度对命中率的影 响问题。 最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条 改变 不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力 关键字出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差 ．问题的重述 图 1.投篮示意图 图2.篮球场地示意图 规则改变前的篮球场地示意图 规则改变后的篮球场地示意图 二．问题分析 1在研究罚篮时， 由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身 高决 定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只 需， 分别给 定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算 出篮球的角度和 速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主 要因素。 2研究二分球投篮问题时， 可根据入球区域的最大面积来描述命中率， 通过 解积分曲线的方法求出入球区域A，根据入球偏差求出所需的角 度的范 围。 3研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。 模型假设 1 2 3 4 5 模型I，II中忽略空气阻力。 模型中不考虑打板入球的情况。 模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况 投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。 出手后不考虑球的自身旋转。 四．符号说明 L篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L4.6m.模型III 中L6.75m。 H篮框的高度，H3.05m. D篮框的直径，D45cm. d篮球的直径，d24.6cm. h运动员的出手高。一般在1.82.7m之间v运动员的出球速度，一般 在89m/s g重力加速度，g9.8m/s2α篮球的出手角度β篮球 的入射角度 五．模型的建立与求解 对三种投篮方式进行,建模， 1.考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。 建立模型 pA A s 水平方向上 2D s 2D Dd2 3 y （vsin ）t gt 竖直方向上 消去t，得到. 2 42 2 这个公式表示了投篮命中所需要的条件。 不难看出投篮命中率主要由 h,v,这 三点决定。 对于罚篮，采用定点投篮方式， 故对于每个篮球运动员h是确定的，所以命 中率 主要取决于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不难看出给定 h，每一个v对应两个，并且若要（2）式有意义，则必须满足 3 解得 这样可此得出给定一个出手高度h，必然对应一个最小速度v。并且它是 h的减函数。带入参数可算出实际罚篮时所需的最小速度。 另外球入篮框的入射角度也可由公式（1）求出 1） 在罚篮中如果只考虑球心正中蓝框中心这种情况 则公式中yH-h，xL. 带入 整理得 4） 与（1）式联立得 （5） 以上讨论的均是球心正中蓝心得情况， 在实际投篮中由于篮球直径小于 篮框 直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心 为原点， 设可允许的偏差最多为，则可以计算出 （6） 此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L，x成为变量带入 （1）式 得。 若v是一个确定值，那么可以用x对求导。 将d x和d用，来替换，整理得 7） 同理若 确定，上式对v求导并做合理替换可以得到 8） 这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手 角 度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。 2.第二种投篮方式， 在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮 （1.25m内为 合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100）。 即得二分的投篮方式。此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投 等。 但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹 方程即， 公式（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。因此 投篮命中率我们 该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面 积的大小来表示。 不 放射为A（q）。两条最大偏差弧线分别为O，O则不难验证，O过点 （L-，H-h），O过点（L，H-h）。则由公式（1）我们可分别写出O，O 的弧线方程 9） 10 直线 P ，的方程分别为 O1 11 12 所以， 由公式（13）可知越大tan就越大则，就越大由公式（2）知道，由v 唯一确 定，而v不能无限增大，故tan只能在一定范围内变化。设曲线过 点（L，H-h）带入公式 （2）得到 13 （14） 其中v满足 并且 可见tan是的减函数，当最小时tan最大。由公式（3）的解可知tan 的最大 值为 VxVx 15 Vx实际中L的范围是（L，L-），为方便计算这里看成是R，即假 设那 么我们就得到入射角的的范围是 16） 由此公式我们就可以根据不同的位置与出手高度计算出使篮球命中的入射 角 范围。从而经过比较，得出哪一个因素才是主要因素。 3.最后建立第三个模型 三分球的投射中，要考虑空气阻力的影响，在这 里我们只考虑水平方向上 的空气阻力影响， 因为投篮时对求运动的阻力主要 体现在水平方向上。 通常阻力 与速度成正比， 设比例系数为k。则篮球在 水平方向上的运动可由微分方程表示 d 2xdx 2 2 k 0 dt dt X（0）0 dx 丨 t0 vcos dt t0 用数学分析的方法可以求解得 kt 1e xt vcos k 通过泰勒展开式并略去e二次方以上的项